Funzioni trigunumetrichi ripprisintati graficamenti
A trigunumitria (o trigonomitria) (da u grecu trígonon (τρίγωνον, triangulu) è métron (μέτρον, misura): risuluzioni di u triangulu) hè a parti di a matematica chì studieghja i trianguli à parta da i so anguli. U scopu principali di a trigunumitria, com'edda a svela l'etimulugia di u nomu, cunsisti in u calculamentu di i misuri chì carattarizeghjani l'elementi d'un triangulu (lati, anguli, mediane, etc.) partendu da altri misuri ghjà cunnisciuti (almenu trè, frà i quali almenu una lunghezza), par mezu di funzioni spiciali. Si riferisci à tali scopu com'è risuluzioni di u triangulu. Hè ancu pussibuli di serva si di calculi trigunumetrichi in a risuluzioni di prublemi currilati à figuri giumetrichi più cumplessi, com'è puliguni o figuri giumetrichi solidi, è in molti altri rami di a matematica.
I funzioni trigunumetrichi (i più impurtanti di i quali sò u sinu è u cusinu), intrudutti in stu duminiu, sò ancu imprudati in modu indipindenti da a giumitria, è dinò in altri campi di a matematica è di i so applicazioni, par asempiu in cunnissioni incù a funzioni espuninziali o incù i uparazioni vitturiali.
Duranti molti seculi, a trigunumitria duviti i so prugressi guasi esclusivamenti à l'opara di grandi astrunomi è giugrafi. Infatti, a fundazioni di sta scenza si devi à Ipparco di Nicea è à Claudiu Tolomeo, tremindù più astrunomi è giugrafi ch'è matematichi. Cuntributi nutevuli funi arricati à sta scenza da l'arabi, da u francesu Levi ben Gershon è, più dopu, da Niccolò Copernicu è Tycho Brahe, intenti à discriva è à priveda incù sempri una più grandi pricisioni i finomini cilesti, ancu par un più asattu è faciuli calculu di longitudini è latitudini.
Strumentu indispinsevuli di a trigunumitria sò i funzioni trigunumetrichi. Sò sti funzioni chì associani i lunghezzi à l'anguli, è viciversa. I tavuleddi in sta sizzioni mostrani i funzioni trigunumetrichi à tempu à i so principali prubità.
Sò ditti funzioni trigunumetrichi diretti quiddi chì à un angulu, di solitu aspressu in radianti, associani una lunghezza o un rapportu frà lunghezzi. A causa di l'equivalenza circulari di l'anguli, tutti i funzioni trigunumetrichi diretti sò ancu funzioni periodichi incù periodu
o
.
Funzioni trigunumetrichi diretti
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Funzioni
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Nutazioni
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Duminiu
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Cuduminiu
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Radichi
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Periodu
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Funzioni inversa
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sinu
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sen, sin
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arcusinu
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cusinu
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cos
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arcucusinu
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tangenti
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tan, tg
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arcutangenti
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cutangenti
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cot, cotg, ctg
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arcucutangenti
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secanti
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sec
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nisciuna
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arcusecanti
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cusecanti
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csc, cosec
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|
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nisciuna
|
|
arcucusecanti
|
À ogni funzioni trigunumetrica diretta hè assuciata una funzioni inversa. U duminiu di ognuna funzioni trigunumetrica inversa currispondi, com'hè prividibuli, à u cuduminiu di a funzioni diretta rispittiva. Apposta ch'è i funzioni diretti sò, puri, periodichi, è parciò micca iniittivi, par pudè li invirsà hè nicissariu à ristringhja ni u duminiu rindendu li biiettivi. A scelta di a ristrizzioni hè tiuricamenti irrilevanti è i pussibilità sò infiniti. A cunvinzioni (rigida, in stu campu) voli parò ch'è i duminii fussini ristretti à l'intarvalli
oppuri
, in i quali i funzioni — è dunqua ancu i so inversi — sò munotuni. Ancu i funzioni arcusecanti è arcucusecanti sò difiniti da l'invirsioni di i funzioni diretti ristretti à un di ss'intarvalli.
Funzioni trigunumetrichi inversi
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Funzioni
|
Nutazioni
|
Duminiu
|
Cuduminiu
|
Radichi
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Andamentu
|
Funzioni inversa
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arcusinu
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arcsen, arcsin, asin,
sen−1[1]
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|
|
0
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|
sinu
|
arcucusinu
|
arccos, acos,
cos−1
|
|
|
1
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|
cusinu
|
arcutangenti
|
arctan, arctg, atan,
tan−1
|
|
|
0
|
|
tangenti
|
arcucutangenti
|
arccot, arccotg, arcctg, acot,
cot−1
|
|
|
|
|
cutangenti
|
arcusecanti
|
arcsec, asec,
sec−1
|
|
|
1
|
criscenti, incù una discuntinuità in
|
secanti
|
arcucusecanti
|
arccsc, arccosec, acsc,
csc−1
|
|
|
|
dicriscenti, incù una discuntinuità in
|
cusecanti
|
Rilazioni fundamintali di a guniumitria[mudificà | edità a fonte]
da quissa s'utteni
induva ci voli à ricurdà si di valutà a pusizioni di
par a scelta oppurtuna di i cenni
chì vali solu par
incù
chì vali solu par
incù
da quissa s'utteni
induva ci voli à ricurdà si di valutà a pusizioni di
par a scelta oppurtuna di i cenni.
In a circumfarenza guniumetrica si chjamani anguli assuciati l'anguli
,
,
è
. 'Ss'anguli ani in valori assulutu listessu sinu è listessu cusinu.
Formuli di l'anguli assuciati di u sicondu quadranti[mudificà | edità a fonte]
Formuli di l'anguli assuciati di u terzu quadranti[mudificà | edità a fonte]
Formuli di l'anguli assuciati à u quartu quadranti[mudificà | edità a fonte]
Si dici ch'è
hè una funzioni para, mentri
è
sò dispari.
Formuli di l'anguli cumplimintarii (a so somma hè un angulu rettu)[mudificà | edità a fonte]
Formuli di l'anguli chì sò diffarenti d'un angulu rettu[mudificà | edità a fonte]
In trigunumitria, i formuli d'addizioni è suttrazzioni parmettini di trasfurmà i funzioni trigunumetrichi di l'addizioni o diffarenza di dui anguli in un'esprissioni cumposta da funzioni trigunumetrichi di i dui anguli.




A formula di a tangenti vali par
incù
A formula di a cutangenti vali par
incù




A formula di a tangenti vali par
incù
A formula di a cutangenti vali par
incù



L'ultima formula vali par
è
incù



L'ultima formula vali par
incù
Attinzioni: hè nicissariu à valutà in qualessu quadranti cadi
par pudè sceglia i cenni oppurtuni di i siguenti formuli



L'ultima formula vali par
.



induva
incù
.




I furmuli di prustaferesi trasformani i sommi di funzioni guniumetrichi in prudutti.
Formuli di Werner (inversi di i formuli di prustaferesi)[mudificà | edità a fonte]
![{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02acdfe5075b319048e5f447d02407e4dc88afbf)
![{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d32bfb791e836bb267ff10add60930d6491694a3)
![{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =-{\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76485a74e3cd4c027b40eb2321bb21879ccd1a2a)
![{\displaystyle \cos \alpha \sin \beta ={\frac {1}{2}}\left[\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aabf386847338d72c56e31c672b247aee8816d38)
I furmuli di Werner trasformani i prudutti di funzioni guniumetrichi in sommi.

A siguenti ugualità hè virificata sottu i siguenti cundizioni


Ci voli à tena menti ch'è a tangenti guniumetrica hè piriodica di 180° è dunqua bisogna à valutà priventivamenti a pusizioni di
è dunqua

Cunvinzioni par a numinclatura di l'elementi d'un triangulu rittangulu
In u ghjergu matematicu "risolva un triangulu rittangulu" significheghja calculà i misuri di i lati è di l'anguli di u triangulu. Par cunvinzioni esisti una numinclatura in i trianguli rittanguli chì si pò veda nantu à a figura. Ci voli à ricurdà si ch'è
è 
- un angulu hè aghjacenti à un catetu s'è u catetu hè un di i lati di l'angulu in quistioni.
- un angulu hè oppostu à un catetu s'è u catetu ùn hè micca un di i lati di l'angulu in quistioni.
Par asempiu
hè oppostu à u catetu
è aghjacenti à u catetu
.
Sottu sti cunvinzioni in un triangulu rittangulu privalini i siguenti tiuremi
Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'iputenusa incù u sinu di l'angulu oppostu à u catetu
Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'iputenusa incù u cusinu di l'angulu acutu aghjacenti à u catetu.
Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'antru catetu incù a tangenti di l'angulu oppostu à u catetu da calculà.
Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'antru catetu incù a cutangenti di l'angulu acutu aghjacenti à u catetu da calculà.
'Ssi tiuremi si traducini in i siguenti formuli par a risuluzioni di i trianguli rittanguli




Si cunsidareghja un triangulu rittangulu
incù angulu rettu di vertici
. Dittu
l'assu
, nantu à u vertici
si custruisci una circumfarenza di raghju
. I cuurdinati di u puntu
rapprisentani u
è u
, è apposta ch'è
hè acutu indicheghjani ancu rispittivamenti i lunghezzi di i cateti
è
.
Dimustrazioni di i formuli di u triangulu rittangulu
.
Da a figura si pò ussirvà ch'è i dui trianguli rittanguli
è
sò simili in quantu ani dui anguli cungruenti:
in cumunu è l'anguli retti di vertici
è
. Hè pussibuli cusì à custruiscia a prupurzioni frà i lati omologhi di i dui trianguli simili (lati opposti à l'anguli cungruenti):

Sustituiscendu i misuri di i lati s'otteni

è cusì

da quissa dui s'utteni ancu

Stu raghjunamentu pò essa chjaramenti stesu ancu à u terzu angulu
in modu da ottena formuli analoghi


Applicazioni nutevuli di i trianguli rittanguli[mudificà | edità a fonte]
Si cunsidareghja u siguenti prublemu: calculà l'altezza d'una torra
, cunniscendu solu a so basa (pianu orizuntali). Si distinguini dui casi
U pedi A di a torra hè raghjunghjibuli[mudificà | edità a fonte]
Calculu altezza d'una torra incù u pedi A raghjunghjibuli
In stu casu basta à misurà u catetu
(
), è da u puntu
misurà l'angulu acutu
(
) sottu à qualessu si vedi a summità di a torra
(
). Applichendu uppurtunamenti i furmuli s'otteni

U pedi A di a torra ùn hè micca raghjunghjibuli[mudificà | edità a fonte]
Calculu altezza d'una torra incù pedi A micca raghjunghjibuli
In stu casu
(
) hè scunnisciuta (in quantu u pedi
ùn hè micca raghjunghjibuli). Si faci dunqua una misura orizuntali
(
) (cusì u catetu
hè
). Da u puntu
si misura l'angulu acutu
(
) è da
si misura l'angulu acutu
(
) sottu à u quali si vedi a summità di a torra
(
). Applichendu uppurtunamenti i furmuli s'otteni

Confruntendu i dui altezzi s'otteni un'equazioni in a scunnisciuta

st'equazioni hè faciulamenti solubili cunnisciuti i
è
Truvatu
s'hà
è cusì si pò calculà

Calculu di l'aria d'un triangulu qualsiasi[mudificà | edità a fonte]
l'altezza h pò essa vista com'è catetu di u triangulu CHA
Par calculà l'aria di u triangulu
, di basa
, servi l'altezza
. In u triangulu rittangulu
, d'iputenusa
, l'altezza
pò essa vista com'è u catetu chì s'opponi à l'angulu
. Imprudendu in modu oppurtunu i formuli di i trianguli rittanguli s'otteni

è cusì

Sta formula vali ancu s'è
hè ottusu.
Formuli di cunvirsioni da cuurdinati pularii a cuurdinati cartisiani è viciversa[mudificà | edità a fonte]
Cuurdinati pularii è cuurdinati cartisiani
Fissatu annantu à un pianu un puntu urighjina
è una mezaretta
, datu un puntu
di u pianu chì hè univucamenti individuatu da un paghju di numari riali
incù a cundizioni
è
. A coppia di numari riali rapprisentani i cuurdinati pularii di
.
Giumitricamenti
ripprisenta a distanza
, mentri
ripprisenta l'angulu
misuratu in sensu antiurariu incù prima latu
.
Hè pussibuli à truvà i rilazioni esistenti trà i cuurdinati cartisiani
è i cuurdinati pularii
di u puntu
. I siguenti cunsidarazioni fatti par un puntu
nantu à u prima quadranti valini ancu par l'altri quadranti.
Imprudendu i formuli di i trianguli rittanguli si trovani i formuli par a trasfurmazioni in cuurdinati cartisiani

Elevendu à u quatratu è summendu s'otteni
è cusì si poni ritruvà i formuli par a trasfurmazioni in cuurdinati pularii


Ci voli à fà attinzioni ch'è a tangenti guniumetrica ùn esisti micca par
ed hè piriodica di 180° è dunqua ci voli à valutà priventivamenti a pusizioni di
par calculà di manera curretta

I tiuremi trigunumetrichi parmettini a risuluzioni di prublemi di natura diffarenti liata à a figura d'un triangulu qualsiasi, sprimendu i rapporti trà i lati è l'anguli di quist'ultimu.
Data una circumfarenza è una corda
, u rapportu trà 'ssa corda è u sinu d'un qualsiasi angulu à a circumfarenza ch'è/chì insiste annantu à d'edda hè uguali à u diamitru di a circumfarenza:

Cunsidaratu un triangulu qualsiasi di lati
,
è
, u rapportu trà i lati è i sini di l'anguli opposti rispittivi hè custanti è hè uguali à u diamitru di a circumfarenza circuscritta:

U tiurema di u cusinu (chjamatu ancu tiurema di Carnot) afferma ch'è in un qualsiasi triangulu, u quatratu d'un latu hè uguali à a diffarenza trà a somma di i quatrati di l'altri dui lati è u doppiu pruduttu di 'ssi lati par u cusinu di l'angulu cumpresu trà eddi.
.
Vali à dì, indichendu incù
a lunghezza di i lati è
l'anguli à eddi opposti, s'otteni



Pò essa cunsidaratu una generalisazioni di u Tiurema di Pitagora.
Cunvinzioni par a numinclatura di l'elementi d'un triangulu
In u ghjergu matematicu risolva un triangulu significheghja calculà i misuri di i lati è di l'anguli di u triangulu. Par risolva un triangulu qualsiasi devini essa cunnisciuti trè elementi frà i quali almenu unu devi essa un latu. Si poni prisintà quattru casi:
- sò cunnisciuti un latu è dui anguli
- sò cunnisciuti trè lati
- sò cunnisciuti dui lati è l'angulu cumpresu
- sò cunnisciuti dui lati è un di i dui anguli opposti à i lati dati
A numinclatura di i lati è di l'anguli segue a cunvinzioni nantu à a figura.
Risolva un triangulu cunnisciuti un latu (a) è dui anguli
[mudificà | edità a fonte]
U prublemu hà sempri una sola suluzioni s'eddi sò rispittati i siguenti cundizioni

in casu cuntrariu u prublemu ùn hà micca suluzioni.
A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti[mudificà | edità a fonte]
- Calculà l'angulu mancanti

- Calculà u latu scunnisciutu
imprudendu u tiurema di i sini: 
- Calculà u latu scunnisciutu
imprudendu u tiurema di i sini: 
Risolva un triangulu cunnisciuti i trè lati (a, b, c)[mudificà | edità a fonte]
U prublemu hà sempri una sola suluzioni s'eddi sò rispittati i disugualità triangulari. In casu cuntrariu u prublemu ùn hà micca suluzioni.
A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti[mudificà | edità a fonte]
- calculà l'angulu
par via di u tiurema di u cusinu: 
- calculà l'angulu
par via di u tiurema di u cusinu: 
- calculà l'angulu mancanti

Risolva un triangulu cunnisciuti dui lati (a è b) è l'angulu cumpresu
[mudificà | edità a fonte]
U prublemu hà sempri una sola suluzioni
A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti[mudificà | edità a fonte]
- calculà u latu
(oppostu à l'angulu
) par via di u tiurema di u cusinu: 
- calculà l'angulu
(oppostu à u latu a) par via di u tiurema di u cusinu: 
- calculà l'angulu mancanti

Risolva un triangulu cunnisciuti dui lati (a è b) è l'angulu
oppostu à u latu a[mudificà | edità a fonte]
U prublemu pò avè nisciuna suluzioni, una suluzioni o dui suluzioni.
- Si calculeghja l'angulu scunnisciutu
incù u tiurema di i sini 
- S'è
hè ottusu si uttinarà un solu angulu
acutu, altrimenti si trova ancu
.
- Si calculeghja
è eventualmenti 
- Si calculeghja
è eventualmente
imprudendu u tiurema di i sini 
Com'è par u restu di i lingui rumanichi, a lingua corsa teni i noma di i funzioni trigunumetrichi da i paroli currispundenti latini.
A parola tangenti hè da latinu tangens, littiralamenti "chì tocca", in rifirimentu à i prubità giumetrichi di u sigmentu imprudatu par a difinizioni grafica di sta funzioni. Analugamenti si spiega l'etimulugia di a secanti, in latinu secans, "chì taglia". I paroli cusinu, cutangenti è cusecanti diriveghjani da a cuntrazzioni di i rispittivi paroli latini cumplimenti sinus, cumplimenti tangens, cumplimenti secans, vali a dì "sinu di l'angulu cumplimintariu", "tangenti di l'angulu cumplimintaria", "secanti di l'angulu cumplimintariu".
- ↑ I nutazioni incù espunenti negativu usati par i funzioni sin−1, cos−1, etc. (usati à spessu in i calculatrici scentifichi) ùn facini micca rifirimentu à i putenzi, ma indicheghjani solu u fattu ch'eddi sò i funzioni inversi di i funzioni trigunumetrichi rispittivi. Par via di cunsiquenza, à menu ch'eddu ùn fussi esplicitamenti indicatu, s'utteni:

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.