Trigunumitria

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Funzioni trigunumetrichi ripprisintati graficamenti

A trigunumitria (o trigonomitria) (da u grecu trígonon (τρίγωνον, triangulu) è métron (μέτρον, misura): risuluzioni di u triangulu) hè a parti di a matematica chì studieghja i trianguli à parta da i so anguli. U scopu principali di a trigunumitria, com'edda a svela l'etimulugia di u nomu, cunsisti in u calculamentu di i misuri chì carattarizeghjani l'elementi d'un triangulu (lati, anguli, mediane, etc.) partendu da altri misuri ghjà cunnisciuti (almenu trè, frà i quali almenu una lunghezza), par mezu di funzioni spiciali. Si riferisci à tali scopu com'è risuluzioni di u triangulu. Hè ancu pussibuli di serva si di calculi trigunumetrichi in a risuluzioni di prublemi currilati à figuri giumetrichi più cumplessi, com'è puliguni o figuri giumetrichi solidi, è in molti altri rami di a matematica.

I funzioni trigunumetrichi (i più impurtanti di i quali sò u sinu è u cusinu), intrudutti in stu duminiu, sò ancu imprudati in modu indipindenti da a giumitria, è dinò in altri campi di a matematica è di i so applicazioni, par asempiu in cunnissioni incù a funzioni espuninziali o incù i uparazioni vitturiali.

Cuntenutu

L'urighjini[mudificà | edità a fonte]

Duranti molti seculi, a trigunumitria duviti i so prugressi guasi esclusivamenti à l'opara di grandi astrunomi è giugrafi. Infatti, a fundazioni di sta scenza si devi à Ipparco di Nicea è à Claudiu Tolomeo, tremindù più astrunomi è giugrafi ch'è matematichi. Cuntributi nutevuli funi arricati à sta scenza da l'arabi, da u francesu Levi ben Gershon è, più dopu, da Niccolò Copernicu è Tycho Brahe, intenti à discriva è à priveda incù sempri una più grandi pricisioni i finomini cilesti, ancu par un più asattu è faciuli calculu di longitudini è latitudini.

Funzioni trigunumetrichi[mudificà | edità a fonte]

Strumentu indispinsevuli di a trigunumitria sò i funzioni trigunumetrichi. Sò sti funzioni chì associani i lunghezzi à l'anguli, è viciversa. I tavuleddi in sta sizzioni mostrani i funzioni trigunumetrichi à tempu à i so principali prubità.

Funzioni trigunumetrichi diretti[mudificà | edità a fonte]

Sò ditti funzioni trigunumetrichi diretti quiddi chì à un angulu, di solitu aspressu in radianti, associani una lunghezza o un rapportu frà lunghezzi. A causa di l'equivalenza circulari di l'anguli, tutti i funzioni trigunumetrichi diretti sò ancu funzioni periodichi incù periodu o .

Funzioni trigunumetrichi diretti
Funzioni Nutazioni Duminiu Cuduminiu Radichi Periodu Funzioni inversa
sinu sen, sin arcusinu
cusinu cos arcucusinu
tangenti tan, tg arcutangenti
cutangenti cot, cotg, ctg arcucutangenti
secanti sec nisciuna arcusecanti
cusecanti csc, cosec nisciuna arcucusecanti

Funzioni trigunumetrichi inversi[mudificà | edità a fonte]

À ogni funzioni trigunumetrica diretta hè assuciata una funzioni inversa. U duminiu di ognuna funzioni trigunumetrica inversa currispondi, com'hè prividibuli, à u cuduminiu di a funzioni diretta rispittiva. Apposta ch'è i funzioni diretti sò, puri, periodichi, è parciò micca iniittivi, par pudè li invirsà hè nicissariu à ristringhja ni u duminiu rindendu li biiettivi. A scelta di a ristrizzioni hè tiuricamenti irrilevanti è i pussibilità sò infiniti. A cunvinzioni (rigida, in stu campu) voli parò ch'è i duminii fussini ristretti à l'intarvalli oppuri , in i quali i funzioni — è dunqua ancu i so inversi — sò munotuni. Ancu i funzioni arcusecanti è arcucusecanti sò difiniti da l'invirsioni di i funzioni diretti ristretti à un di ss'intarvalli.

Funzioni trigunumetrichi inversi
Funzioni Nutazioni Duminiu Cuduminiu Radichi Andamentu Funzioni inversa
arcusinu arcsen, arcsin, asin,

sen−1[1]

0 sinu
arcucusinu arccos, acos,

cos−1

1 cusinu
arcutangenti arctan, arctg, atan,

tan−1

0 tangenti
arcucutangenti arccot, arccotg, arcctg, acot,

cot−1

cutangenti
arcusecanti arcsec, asec,

sec−1

1 criscenti, incù una discuntinuità in secanti
arcucusecanti arccsc, arccosec, acsc,

csc−1

dicriscenti, incù una discuntinuità in cusecanti

Rilazioni fundamintali di a guniumitria[mudificà | edità a fonte]

Prima rilazioni fundamintali[mudificà | edità a fonte]

da quissa s'utteni

induva ci voli à ricurdà si di valutà a pusizioni di par a scelta oppurtuna di i cenni

Siconda rilazioni fundamintali[mudificà | edità a fonte]

chì vali solu par incù

Terza rilazioni fundamintali[mudificà | edità a fonte]

chì vali solu par incù

da quissa s'utteni

induva ci voli à ricurdà si di valutà a pusizioni di par a scelta oppurtuna di i cenni.

Formuli di l'anguli assuciati[mudificà | edità a fonte]

In a circumfarenza guniumetrica si chjamani anguli assuciati l'anguli , , è . 'Ss'anguli ani in valori assulutu listessu sinu è listessu cusinu.

Formuli di l'anguli assuciati di u sicondu quadranti[mudificà | edità a fonte]

Formuli di l'anguli assuciati di u terzu quadranti[mudificà | edità a fonte]

Formuli di l'anguli assuciati à u quartu quadranti[mudificà | edità a fonte]

Formuli di l'anguli opposti[mudificà | edità a fonte]

Si dici ch'è hè una funzioni para, mentri è sò dispari.

Formuli di l'anguli cumplimintarii (a so somma hè un angulu rettu)[mudificà | edità a fonte]

Formuli di l'anguli chì sò diffarenti d'un angulu rettu[mudificà | edità a fonte]

Formuli guniumetrichi[mudificà | edità a fonte]

In trigunumitria, i formuli d'addizioni è suttrazzioni parmettini di trasfurmà i funzioni trigunumetrichi di l'addizioni o diffarenza di dui anguli in un'esprissioni cumposta da funzioni trigunumetrichi di i dui anguli.

Formuli d'addizioni[mudificà | edità a fonte]

A formula di a tangenti vali par incù

A formula di a cutangenti vali par incù

Formuli di suttrazzioni[mudificà | edità a fonte]

A formula di a tangenti vali par incù

A formula di a cutangenti vali par incù

Formuli di duplicazioni[mudificà | edità a fonte]

L'ultima formula vali par è incù

Formuli di liniarità[mudificà | edità a fonte]

L'ultima formula vali par incù

Formuli di bisizzioni[mudificà | edità a fonte]

Attinzioni: hè nicissariu à valutà in qualessu quadranti cadi par pudè sceglia i cenni oppurtuni di i siguenti formuli

L'ultima formula vali par .

Formuli parametrichi[mudificà | edità a fonte]

induva incù .

Formuli di prustaferesi[mudificà | edità a fonte]

I furmuli di prustaferesi trasformani i sommi di funzioni guniumetrichi in prudutti.

Formuli di Werner (inversi di i formuli di prustaferesi)[mudificà | edità a fonte]

I furmuli di Werner trasformani i prudutti di funzioni guniumetrichi in sommi.

Formuli di l'angulu aghjuntu[mudificà | edità a fonte]

A siguenti ugualità hè virificata sottu i siguenti cundizioni

Ci voli à tena menti ch'è a tangenti guniumetrica hè piriodica di 180° è dunqua bisogna à valutà priventivamenti a pusizioni di è dunqua

Risuluzioni di i trianguli rittanguli[mudificà | edità a fonte]

Cunvinzioni par a numinclatura di l'elementi d'un triangulu rittangulu

In u ghjergu matematicu "risolva un triangulu rittangulu" significheghja calculà i misuri di i lati è di l'anguli di u triangulu. Par cunvinzioni esisti una numinclatura in i trianguli rittanguli chì si pò veda nantu à a figura. Ci voli à ricurdà si ch'è

  • è
  • un angulu hè aghjacenti à un catetu s'è u catetu hè un di i lati di l'angulu in quistioni.
  • un angulu hè oppostu à un catetu s'è u catetu ùn hè micca un di i lati di l'angulu in quistioni.

Par asempiu hè oppostu à u catetu è aghjacenti à u catetu .

Sottu sti cunvinzioni in un triangulu rittangulu privalini i siguenti tiuremi

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'iputenusa incù u sinu di l'angulu oppostu à u catetu

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'iputenusa incù u cusinu di l'angulu acutu aghjacenti à u catetu.

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'antru catetu incù a tangenti di l'angulu oppostu à u catetu da calculà.

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'antru catetu incù a cutangenti di l'angulu acutu aghjacenti à u catetu da calculà.

'Ssi tiuremi si traducini in i siguenti formuli par a risuluzioni di i trianguli rittanguli





Dimustrazioni[mudificà | edità a fonte]

Si cunsidareghja un triangulu rittangulu incù angulu rettu di vertici . Dittu l'assu , nantu à u vertici si custruisci una circumfarenza di raghju . I cuurdinati di u puntu rapprisentani u è u , è apposta ch'è hè acutu indicheghjani ancu rispittivamenti i lunghezzi di i cateti è .

Dimustrazioni di i formuli di u triangulu rittangulu

.

Da a figura si pò ussirvà ch'è i dui trianguli rittanguli è sò simili in quantu ani dui anguli cungruenti: in cumunu è l'anguli retti di vertici è . Hè pussibuli cusì à custruiscia a prupurzioni frà i lati omologhi di i dui trianguli simili (lati opposti à l'anguli cungruenti):

Sustituiscendu i misuri di i lati s'otteni

è cusì


da quissa dui s'utteni ancu


Stu raghjunamentu pò essa chjaramenti stesu ancu à u terzu angulu in modu da ottena formuli analoghi



Applicazioni nutevuli di i trianguli rittanguli[mudificà | edità a fonte]

Calculu di l'altezza d'una torra[mudificà | edità a fonte]

Si cunsidareghja u siguenti prublemu: calculà l'altezza d'una torra , cunniscendu solu a so basa (pianu orizuntali). Si distinguini dui casi

U pedi A di a torra hè raghjunghjibuli[mudificà | edità a fonte]

Calculu altezza d'una torra incù u pedi A raghjunghjibuli

In stu casu basta à misurà u catetu (), è da u puntu misurà l'angulu acutu () sottu à qualessu si vedi a summità di a torra (). Applichendu uppurtunamenti i furmuli s'otteni

U pedi A di a torra ùn hè micca raghjunghjibuli[mudificà | edità a fonte]

Calculu altezza d'una torra incù pedi A micca raghjunghjibuli

In stu casu () hè scunnisciuta (in quantu u pedi ùn hè micca raghjunghjibuli). Si faci dunqua una misura orizuntali () (cusì u catetu ). Da u puntu si misura l'angulu acutu () è da si misura l'angulu acutu () sottu à u quali si vedi a summità di a torra (). Applichendu uppurtunamenti i furmuli s'otteni



Confruntendu i dui altezzi s'otteni un'equazioni in a scunnisciuta

st'equazioni hè faciulamenti solubili cunnisciuti i è

Truvatu s'hà è cusì si pò calculà

Calculu di l'aria d'un triangulu qualsiasi[mudificà | edità a fonte]

l'altezza h pò essa vista com'è catetu di u triangulu CHA

Par calculà l'aria di u triangulu , di basa , servi l'altezza . In u triangulu rittangulu , d'iputenusa , l'altezza pò essa vista com'è u catetu chì s'opponi à l'angulu . Imprudendu in modu oppurtunu i formuli di i trianguli rittanguli s'otteni

è cusì

Sta formula vali ancu s'è hè ottusu.

Formuli di cunvirsioni da cuurdinati pularii a cuurdinati cartisiani è viciversa[mudificà | edità a fonte]

Cuurdinati pularii è cuurdinati cartisiani

Fissatu annantu à un pianu un puntu urighjina è una mezaretta , datu un puntu di u pianu chì hè univucamenti individuatu da un paghju di numari riali incù a cundizioni è . A coppia di numari riali rapprisentani i cuurdinati pularii di . Giumitricamenti ripprisenta a distanza , mentri ripprisenta l'angulu misuratu in sensu antiurariu incù prima latu .

Hè pussibuli à truvà i rilazioni esistenti trà i cuurdinati cartisiani è i cuurdinati pularii di u puntu . I siguenti cunsidarazioni fatti par un puntu nantu à u prima quadranti valini ancu par l'altri quadranti.

Imprudendu i formuli di i trianguli rittanguli si trovani i formuli par a trasfurmazioni in cuurdinati cartisiani

Elevendu à u quatratu è summendu s'otteni è cusì si poni ritruvà i formuli par a trasfurmazioni in cuurdinati pularii

Ci voli à fà attinzioni ch'è a tangenti guniumetrica ùn esisti micca par ed hè piriodica di 180° è dunqua ci voli à valutà priventivamenti a pusizioni di par calculà di manera curretta

Tiuremi trigunumetrichi[mudificà | edità a fonte]

I tiuremi trigunumetrichi parmettini a risuluzioni di prublemi di natura diffarenti liata à a figura d'un triangulu qualsiasi, sprimendu i rapporti trà i lati è l'anguli di quist'ultimu.

Tiurema di a corda[mudificà | edità a fonte]

File:Teorema della corda.png
Tiurema di a corda in una circumfarenza

Data una circumfarenza è una corda , u rapportu trà 'ssa corda è u sinu d'un qualsiasi angulu à a circumfarenza ch'è/chì insiste annantu à d'edda hè uguali à u diamitru di a circumfarenza:

Tiurema di i sini[mudificà | edità a fonte]

Cunsidaratu un triangulu qualsiasi di lati , è , u rapportu trà i lati è i sini di l'anguli opposti rispittivi hè custanti è hè uguali à u diamitru di a circumfarenza circuscritta:

Tiurema di u cusinu o di Carnot[mudificà | edità a fonte]

dritta U tiurema di u cusinu (chjamatu ancu tiurema di Carnot) afferma ch'è in un qualsiasi triangulu, u quatratu d'un latu hè uguali à a diffarenza trà a somma di i quatrati di l'altri dui lati è u doppiu pruduttu di 'ssi lati par u cusinu di l'angulu cumpresu trà eddi.

.

Vali à dì, indichendu incù a lunghezza di i lati è l'anguli à eddi opposti, s'otteni

Pò essa cunsidaratu una generalisazioni di u Tiurema di Pitagora.

Risuluzioni di i trianguli qualsiasi[mudificà | edità a fonte]

Cunvinzioni par a numinclatura di l'elementi d'un triangulu

In u ghjergu matematicu risolva un triangulu significheghja calculà i misuri di i lati è di l'anguli di u triangulu. Par risolva un triangulu qualsiasi devini essa cunnisciuti trè elementi frà i quali almenu unu devi essa un latu. Si poni prisintà quattru casi:

  1. sò cunnisciuti un latu è dui anguli
  2. sò cunnisciuti trè lati
  3. sò cunnisciuti dui lati è l'angulu cumpresu
  4. sò cunnisciuti dui lati è un di i dui anguli opposti à i lati dati

A numinclatura di i lati è di l'anguli segue a cunvinzioni nantu à a figura.

Risolva un triangulu cunnisciuti un latu (a) è dui anguli [mudificà | edità a fonte]

U prublemu hà sempri una sola suluzioni s'eddi sò rispittati i siguenti cundizioni

in casu cuntrariu u prublemu ùn hà micca suluzioni.

A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti[mudificà | edità a fonte]

  1. Calculà l'angulu mancanti
  2. Calculà u latu scunnisciutu imprudendu u tiurema di i sini:
  3. Calculà u latu scunnisciutu imprudendu u tiurema di i sini:

Risolva un triangulu cunnisciuti i trè lati (a, b, c)[mudificà | edità a fonte]

U prublemu hà sempri una sola suluzioni s'eddi sò rispittati i disugualità triangulari. In casu cuntrariu u prublemu ùn hà micca suluzioni.

A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti[mudificà | edità a fonte]

  1. calculà l'angulu par via di u tiurema di u cusinu:
  2. calculà l'angulu par via di u tiurema di u cusinu:
  3. calculà l'angulu mancanti

Risolva un triangulu cunnisciuti dui lati (a è b) è l'angulu cumpresu [mudificà | edità a fonte]

U prublemu hà sempri una sola suluzioni

A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti[mudificà | edità a fonte]

  1. calculà u latu (oppostu à l'angulu ) par via di u tiurema di u cusinu:
  2. calculà l'angulu (oppostu à u latu a) par via di u tiurema di u cusinu:
  3. calculà l'angulu mancanti

Risolva un triangulu cunnisciuti dui lati (a è b) è l'angulu oppostu à u latu a[mudificà | edità a fonte]

U prublemu pò avè nisciuna suluzioni, una suluzioni o dui suluzioni.

  1. Si calculeghja l'angulu scunnisciutu incù u tiurema di i sini
  2. S'è hè ottusu si uttinarà un solu angulu acutu, altrimenti si trova ancu .
  3. Si calculeghja è eventualmenti
  4. Si calculeghja è eventualmente imprudendu u tiurema di i sini

Etimulugia di i noma[mudificà | edità a fonte]

Com'è par u restu di i lingui rumanichi, a lingua corsa teni i noma di i funzioni trigunumetrichi da i paroli currispundenti latini. A parola tangenti hè da latinu tangens, littiralamenti "chì tocca", in rifirimentu à i prubità giumetrichi di u sigmentu imprudatu par a difinizioni grafica di sta funzioni. Analugamenti si spiega l'etimulugia di a secanti, in latinu secans, "chì taglia". I paroli cusinu, cutangenti è cusecanti diriveghjani da a cuntrazzioni di i rispittivi paroli latini cumplimenti sinus, cumplimenti tangens, cumplimenti secans, vali a dì "sinu di l'angulu cumplimintariu", "tangenti di l'angulu cumplimintaria", "secanti di l'angulu cumplimintariu".

Noti[mudificà | edità a fonte]

  1. I nutazioni incù espunenti negativu usati par i funzioni sin−1, cos−1, etc. (usati à spessu in i calculatrici scentifichi) ùn facini micca rifirimentu à i putenzi, ma indicheghjani solu u fattu ch'eddi sò i funzioni inversi di i funzioni trigunumetrichi rispittivi. Par via di cunsiquenza, à menu ch'eddu ùn fussi esplicitamenti indicatu, s'utteni:

Da veda dinò[mudificà | edità a fonte]


Fonti[mudificà | edità a fonte]

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.