Tangenti

Datu un triangulu rittangulu, a tangenti (o tangente) (abbriviatu tan) hè una funzioni trigunumetrica difinita com'è u rapportu trà u sinu è u cusinu di u stessu angulu. I simbuli par indicà a tangenti sò i più numarosi di tutti i funzioni trigunumetrichi, apposta ch'è edda s'indicheghja incù tg, tn, tang, tng (raru). U nomu di a funzioni deriveghja da u fattu ch'edda pò essa difinita com'è a lunghezza d'un sigmentu di a tangenti (in sensu giumetricu) à a circumfarenza guniumetrica. Infatti, datu un chjerchju di raghju unitariu, a tangenti d'un angulu α hè l'urdinata di u puntu d'intarsizioni trà a retta chì cunteni u latu libaru di l'angulu è a retta tangenti à a circumfarenza in u puntu di cuurdinati (1;0).

Prubità

Funzioni trigunumetrichi nantu à a circumfarenza guniumetrica

S'è ussirvemu a figura vidimu ch'è i trianguli OAB è OCD sò simili, è dunqua:

\quad \!{\frac {AB}{OA}}={\frac {DC}{OC}};\quad \quad {\frac {\tan x}{1}}={\frac {DC}{OC}}

esprissioni chì ghjustificheghja graficamenti a difinizioni trigunumetrica di a tangenti:

\tan x={\frac {\mathrm {sin} \,x}{\cos x}}

A tangenti hè una funzioni periodica incù periodu $\pi$ vali à dì:

\tan x=\tan(x+k\pi ),\quad k\in \mathbb {Z}

.

A dirivata prima di a tangenti hè:

{\frac {\mathrm {di} }{\mathrm {di} x}}\tan x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x=sec^{2}x

A funzioni primitiva di a tangenti hè:

\int _{0}^{x}\tan {t}\,\mathrm {di} t=-\ln {\left|\cos {x}\right|}

U sviluppu di Taylor di a funzioni tangenti à u settimu ordini hè

\tan x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+o(x^{8})

A tangenti hè una funzioni dispari, vali à dì:

\tan(-x)=-\tan x\;

.

U reciprocu di a tangenti hè dittu cutangenti:

\cot x={\frac {1}{\tan x}}

A funzioni inversa di a tangenti hè l'arcutangenti.

A tavuledda siguenti esponi i principali valori nutevuli assunti da a funzioni tangenti:

x in radianti	0	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$	$\pi$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi$
x in gradi	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
$\tan(x)$	0	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	1	${\sqrt {3}}$	$\nexists$	0	$\nexists$	0

A funzioni tan x ùn hè micca difinita par valori di $x={\frac {\pi }{2}}+k\pi ,\quad k\in \mathbb {Z}$

Giumitria analitica

\tan x=m={\frac {\mathrm {sin} \,x}{\cos x}}={\frac {y}{x}}

Pudemu ancu difiniscia a tangenti com'è u cuefficienti angulari d'una retta. In stu casu ripprisenta a tangenti trigunumetrica di l'angulu ch'è a retta stessa forma incù l'assu di i x. Par renda ci contu di a viridicità di st'affirmazioni, ricurdemu ch'è u cuefficienti angulari d'una retta chì passa par dui punti, siini $P=(x_{0},y_{0})$ è $Q=(x_{1},y_{1})$ , hè asattamenti ${\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$ , chì equivali à u rapportu trà u sinu è u cusinu di l'angulu cumpresu trà a retta è l'assu di i $x$ .

Sinu è cusinu

Par ottena i valori di u sinu è di u cusinu di $x$ cunniscendu ni a tangenti pudemu fà un simpliciu raghjunamentu. Innanzi tuttu pinsemu $\tan x$ com'è u rapportu trà l'urdinata è l'ascissa d'un puntu $P$ nantu à a circumfarenza cintrata in l'urighjina $O$ di l'assi (u raghju hè ininfluenti apposta ch'è u valori di a tangenti hè univucamenti ditarminatu). Pudemu cunsidarà quisti ascissa è urdinata com'è i cateti di u triangulu rittangulu chì hà u raghju $OP$ com'è iputenusa. Da stu puntu di vista u sinu di x hè u rapportu trà l'urdinata di $P$ è l'iputenusa $OP$ , mentri u cusinu di x hè u rapportu trà l'ascissa di $P$ è l'iputenusa $OP$ .