Tiurema di Pitagora

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In un triangulu rittangulu a somma di l'arii di i dui quatrati custruiti annantu à i cateti (turchinu è rossu) hè uguali à l'aria di u quatratu custruitu nantu à l'iputenusa (viuletta).
Animazioni di a prova di u Tiurema di Pitagora

U tiurema di Pitagora (o Teurema di Pitagora) hè un tiurema di a giumitria euclidea chì stabilisci una rilazioni fundamintali trà i lati d'un triangulu rittangulu è com'è pò essa cunsidaratu dinò una virsioni limitata ad eddi di u Tiurema di Carnot.

Urighjina[mudificà | edità a fonte]

Visualisazioni di u casu di u triangulu (3,4,5) cuntinuta in u testu chinesu Chou Pei Suan Ching (scrittu trà u 200 a.C. è u 200 d.C.)

Ciò ch'è à l'ebbica muderna hè cunnisciutu com'è tiurema di Pitagora hè di solitu attribuitu di a filosofu è matematicu Pitagora. In rialità u so enunciatu (ma micca a so dimustrazioni) era ghjà cunnisciutu[1] da i babilunesi, è era cunnisciutu ancu in China è sicuramenti in India com'eddi a dimostrani molti scritti frà i quali u Yuktibhasa. A dimustrazioni di u tiurema hè inveci incù ogni prubabilità ultiriori à Pitagora.

Enunciatu[mudificà | edità a fonte]

In ogni triangulu rittangulu u quatratu custruitu nantu à l'iputenusa hè sempri equivalenti à a somma di i quatrati custruiti annantu à i cateti.

oppuri: In ogni triangulu rittangulu l' aria di u quatratu custruitu nantu à l'iputenusa hè sempri uguali à a somma di l' arii di i quatrati custruiti annantu à i cateti.

Rtriangle.svg

Datu un triangulu rittangulu di lati a, b è c, è imprudendu c par disignà a so iputenusa è a è b par i so cateti, u tiurema hè espressu da l'equazioni:

o, di manera altirnativa, risulvendu lu par c:

Da induva si ricavani i cateti rispettivi :

è

S'è a terna hè custituita da numari intieri tandu si chjama terna pitagorica.

Invirsamenti, ogni triangulu in u quali i trè lati virificheghjani sta prubità hè rittangulu: stu tiurema, incù a so dimustrazioni, apparisci in l'ultimu enunciatu di l'Elementi.

Dimustrazioni[mudificà | edità a fonte]

Animazioni d'una dimustrazioni

A dimustrazioni classica di u tiurema di Pitagora cumpletta u prima libru di l' Elementi di Euclide, è ni custituisci u filu cunduttori. Essendu datu ch'eddu richiedi u postulatu di i paralleli, ùn vali micca in i giumitrii non-euclidei è in a giumitria neutrali. In u testu d'Euclide a dimustrazioni di u tiurema hè immediatamenti priciduta da a dimustrazioni di a custruibilità di i quatrati. L'esistenza stessa di i quatrati dipendi infatti da u postulatu di i paralleli è sparisci in i giumitrii non euclidei. St'aspettu di u prublemu hè in generali trascuratu in a didattica cuntimpuranea, chì tendi spessu à assuma com'è evidenti l'esistenza di i quatrati.

A dimustrazioni di u tiurema di Pitagora cunsisti in u fattu di riempia un stessu quatratu di latu uguali à a somma di i cateti prima incù quattru copii di u triangulu rittangulu più u quatratu custruitu nantu à l'iputenusa è dopu incù quattru copii di u triangulu rittangulu più i quatrati custruiti annantu à i cateti, com'è annantu à a figura.

Essendu u tiurema un di i più noti di a storia di a matematica, ni esistini multissimi dimustrazioni, in tutali parechji cintunara, opara di matematichi, astronumi, agenti di cambiu, par asempiu un prisidenti americanu James A. Garfield è Liunardu da Vinci. Par stu tiurema sò stati classificati da u scentificu americanu Elisha Scott Loomis 371 diffarenti dimustrazioni, chì sò stati publicati in u 1927 in u so libru The Pythagorean Proposition.

Dimustrazioni di Abu'l-Wafa[mudificà | edità a fonte]

Dimustrazioni di Abu'l-Wafa' i Perigal

A dimustrazioni attribuita à u matematicu è astronumu persianu Abu'l-Wafa versu a fini di u X seculu d.C.[2][3] è riscuparta da l'agenti di cambiu Henry Perigal (truvata in u 1835-1840[4], publicata in 1872 è dopu in 1891[5]) si basa nantu à a scumpusizioni di u quatratu custruitu nantu à u catetu maiò, in giaddu annantu à l'imaghjini: tagliendu lu infatti incù dui retti passanti par u so centru, una parpindiculari è una parallela à l'iputenusa, si pò ricumpona di manera à incurpurà l'altru quatratu, è furmendu u quatratu nantu à l'iputenusa, com'è in a figura. Stu prucidimentu hè liatu à u prublemu di a trisezioni di u quatratu.

Dimustrazioni di Airy[mudificà | edità a fonte]

Esisti ancu una dimustrazioni in forma puetica, di l'astronumu Sir George Airy, in inglesu:

"I am, as you can see,
a2 + b2 − ab
When two triangles on me stand,
Square of hypothenuse is plann'di
But if I stand on them instead
The squares of both sides are read.
"

di a quali una traduzioni littarali hè

"Com'è pudeti veda, sò
a2 + b2 − ab
Quandu ci sò dui trianguli sopra à mè
hè rapprisintatu u quatratu di l'iputenusa
Ma s'è inveci stocu eiu sopra ad eddi
Si leghjini i quatrati di i dui lati
"

I versi si rifiriscini à a parti bianca: i primi dui trianguli sò quiddi rossi, i sicondi quiddi turchinu.

Tantu a dimustrazioni di Perigal ch'è quist'ultima sò intarissanti, chì sò sputicamenti giumetrichi, veni à dì ùn richiedini alcuna difinizioni d'uparazioni aritmetichi, ma solu cungruenzi d'arii è di sigmenti.

Quatrati cuncentrichi di Pomi[mudificà | edità a fonte]

Dimustrazioni incù quatrati cuncentrichi

Dimustrazioni giumetrica basata annantu à dui quatrati cuncentrichi, di lati rispittivamenti pari à l'iputenusa (c) è à a somma di i dui cateti (a+b).

Com'eddu si vedi annantu à a figura, tolti i 4 trianguli rittanguli (in giaddu d'aria ) à u quatratu più grandi, chì currispondi à l'aria , s'otteni u quatratu più chjucu, rapprisintatu in biancu, chì equivali inveci à l'aria .

Dunqua
d'induva risulvendu s'otteni :

Sta dimustrazioni hà l'avantaghju d'avè una ripprisintazioni visuali simplicia è diretta, chì ùn richiedi micca u spustamentu è soprappusizioni di formi com'è l'altri dimustrazioni giumetrichi chì sò stati furmulati.

Dimustrazioni di Garfield[mudificà | edità a fonte]

Dimustrazioni di Garfield

Un'antra dimustrazioni giumetrica particularamenti significativa, chì in a so custruzzioni ùn cumparisci alcun' quatratu, fù truvata in u 1876 da Garfield, chì in seguitu divintò u vintesimu Prisidenti di i Stati Uniti d'America. Tandu in l'armata, Garfield cummintò u so risultatu: "Quissa hè calcosa annantu à a quali i dui rami di u parlamentu pudarani essa d'accordu".

A dimustrazioni hè a siguenti:

si cunsidareghja una copia di u triangulu rittangulu in quistioni, ghjirata di 90 gradi di manera à allinià i dui cateti diffarenti (in a figura accantu u rossu è u turchinu). Si uniscini dopu l'estremità di l'iputenusi, è s'otteni un trapeziu. Uguagliendu l'aria di u trapeziu à a somma di quiddi di i trè trianguli retti, si dimostra u tiurema.

In formuli, dittu a u catetu rossu, b u turchinu è c l'iputenusa, è ricurdendu a putenza di u binomiu

Una apparenti dimustrazioni incù i numari cumplessi[mudificà | edità a fonte]

Una (apparenti) dimustrazioni sputicamenti algebrica faci usu di i numari cumplessi è di a formula d'Euleru: siini a, b i cateti è c l'iputenusa. S'è i cateti sò alliniati annantu à l'assi, t'avemu

Cunsidarendu tandu u cumplessu cunghjucatu di :

Multiplichendu trà eddi si otteni

In rialità si tratta sola d'una dimustrazioni apparenti, appostu ch'è u risultatu hè suppostu implicitamenti in l'usu di l'idantità .

S'è infatti si sustituisci à l'espuninziali imaginariu a so difinizioni, l'idantità si rivela essa: , veni à dì

è l'ultima idantità bedda cunnisciuta ùn hè altru ch'è una pussibuli furmulazioni di l'enunciatu di u tiurema di Pitagora.

(S'è inveci l'espuninziali imaginariu hè difinitu à traversu a somma di a so seria di Taylor, tandu u prublemu diventa quiddu di dimustrà a rilazioni , induva a, b è c sò i misuri di i cateti è l'iputenusa d'un triangulu rittangulu: prublemu chì a so suluzioni ùn hè micca più simplicia ch'è i dimustrazioni pricidenti di u tiurema di Pitagora).

Incù i tiuremi di Euclide[mudificà | edità a fonte]

Dimustrazioni incù Euclide

Un'antra dimustrazioni improda u prima tiurema di Euclide. Si traccia l'altezza nantu à l'iputenusa, di lunghezza . Quidda spezza l'iputenusa in dui sigmenti, di lunghezza è . U tiurema di Euclide furnisci i rilazioni

da induva

è dunqua

Incù i tiuremi di l'inchjerchju[mudificà | edità a fonte]

Un'antra dimustrazioni pò essa ottinuta à traversu parechji tiuremi liati à a circumfarenza iscritta à un triangulu è par via di calchì simplicia passata algebrica.

Inradius.svg

Lemma 1: Tinendu contu di u tiurema di i tangenti si pò diducia da a figura pricidenti ch'è a distanza trà un vertici è u puntu di tangenza di un di i dui lati di u quali hè estremu incù l'inchjerchju hè uguali à a diffarenza trà u mezu perimetru è u latu oppostu a quiddu vertici. Infatti ogni latu hè cumpostu da dui di sti trè sigmenti, inoltri sti sigmenti sò uguali à dui à dui (quiddi aghjacenti, sempri par via di u tiurema di i tangenti) è a somma di tutti è sei hè uguali à u perimetru; par quissa a somma di tutti è trè sigmenti di lunghezza distinta hè uguali à u mezu perimetru è ognunu di quissi hè dunqua u mezu perimetru menu a somma di l'altri dui, è dunqua u latu oppostu à u vertici à u quali apparteni.

Lemma 2: In u casu particulari d'un triangulu rittangulu u raghju di a circumfarenza iscritta hè uguali à u sigmentu chì và da u vertici di l'angulu rettu à u puntu di tangenza incù l'inchjerchju. Quissa parchì, cunsidarendu u quadrilateru avendu com'è vertici u vertici di l'angulu rettu, i punti di tangenza annantu à i cateti è u incentru, si vidaria ch'eddu t'hà trè anguli retti(dunqua ancu u quartu) è veni à dì ch'eddu hè un rittangulu; ma ancu ch'eddu t'hà dui lati consecutivi cungruenti (un' antra volta par via di u tiurema di i tangenti), par quissa hè un rittangulu incù i diminsioni cungruenti, vali à dì un quatratu è dunqua par difinizioni ogni latu di soiu hè cungruenti à tutti l'altri. Quissa implicheghja u lemma chì ci vulia à dimustrà.

Lemma 3: Sii u mezu perimetru, u raghju di a circumfarenza inscritta è l'aria di u triangulu in quistioni (micca nicissariamenti rittangulu, ma tali in a parti siguenti di a noscia dimustrazioni); s'hà a formula: . Quissa si pò virificà cunsidarendu i trè trianguli avendu com'è altezza Ri è com'è basa è eddu rilativa un di i trè lati è custatendu ch'è A hè uguali à a somma di l'arii di quiddi trè trianguli; dunqua, chjamendu , è i trè lati: .

Dimustrazioni algebrica: Siini è i cateti è l'iputenusa di u nosciu triangulu rittangulu. Avemu dunqua:

à stu puntu, usendu u pruduttu nutevuli "somma par diffarenza" si otteni:

avà, par via di "quatratu d'un binomiu" si otteni:

simplifichendu i dinuminatori:

prusegui:

è da quì, finalmenti:

chì currispondi par appuntu à l'enunciatu di u tiurema di pitagora.

Inversu[mudificà | edità a fonte]

Vali ancu l'inversu di u Tiurema di Pitagora (prupusizioni 48 di u prima libru di l' Elementi di Euclide): "S'è in un triangulu di lati a, b è c vali a rilazioni , tandu u triangulu hè rittangulu".

Dimustrazioni. Sii T un triangulu di lati a, b è c tali ch'è . Si cunsidareghja un sicondu triangulu rittangulu T' chì t'hà i cateti pari à a è b (hè sempri pussibuli di custruiscia un triangulu rittangulu dati i dui cateti). Par via di u Tiurema di Pitagora (direttu) l'iputenusa di u triangulu T' sarà para a , veni à dì sarà uguali à u latu c di u triangulu T. I dui trianguli T è T' sarani dunqua cungruenti par via di u terzu criteriu di cungruenza, avendu tutti è trè i lati uguali. Ma tandu ancu u triangulu T sarà rittangulu (CVD).

Un curullariu di u tiurema di Pitagora parmetti di ditarminà s'è un triangulu hè rittangulu, acutangulu o ottusangulu. Induva c currispondi à l'iputenusa, u latu più longu di i trè, è a + b > c (altrimenti ùn avemu micca un triangulu), privalini i siguenti rilazioni:

  • s'è , tandu u triangulu hè rittangulu
  • s'è , tandu u triangulu hè acutangulu
  • s'è , tandu u triangulu hè ottusangulu

Applicazioni pratichi di l'enunciatu inversu[mudificà | edità a fonte]

L'enunciatu inversu furnisci ancu un sistemu moltu simpliciu par custruiscia un angulu rettu (o par cuntrullà a quadratura d'un angulu ghjà esistenti) in situazioni pratichi, com'è a tupugrafia o u agrimensura.

À titulu d'asempiu, incù una funi di lunghezza para à a somma d'una terna pitagorica dimu 12, somma di 5, 4 è 3, in una calchì unità di misura) saria sufficenti di dispona i dui purzioni minori di a corda (quiddi di misura 4 è 3) à un certu angulu frà eddi; s'è l'estremità di a funi, disposta infini in forma triangulari, si chjudini, si saparà ch'è l'angulu cumpresu frà i dui purzioni minori di a corda (à stu puntu i dui cateti) hè cirtamenti rettu.

Generalisazioni[mudificà | edità a fonte]

U tiurema di Pitagora pò essa generalizatu in parechji modi. Di solitu, una generalisazioni hè una rilazioni chì s'appiega à tutti i trianguli, è chì appiigata à i trianguli rittanguli, hè equivalenti à u tiurema di Pitagora.

Tiurema di u cusinu[mudificà | edità a fonte]

Un qualunqua triangulu.

A più generalisazioni impurtanti di u tiurema di Pitagora hè forsi u tiurema di u cusinu, chì s'appiega à qualsiasi triangulu (micca nicissariamenti rettu). In un triangulu incù vertici è anguli indicati com'è in a figura, privali l'ugualità:

In u casu in u quali sii rettu, vali è dunqua l'enunciatu hè equivalenti à u tiurema di Pitagora. U terminu aghjuntivu pò essa intarpritatu com'è u pruduttu scalariu di i vettori è .

Tiurema di i sini[mudificà | edità a fonte]

U tiurema di i sini metti in rilazioni i lunghezzi di i lati è l'anguli opposti.

U tiurema di i seni metti in rilazioni i lunghezzi di i lati d'un triangulu è i sini di l'anguli opposti. Sta rilazioni s'appiega ancu à qualsiasi triangulu è, in u casu in u quali quiddu saria rittangulu, pò essa cunsidarata equivalenti à u tiurema di Pitagora (bench'è di manera menu diretta ch'è rispettu à u tiurema di u cusinu).

U tiurema di i sini accerta ch'è in un triangulu qualunqua, incù i nutazioni com'è nantu à a figura, privalini i siguenti rilazioni:

Elevendu à u quatratu:

Summendu i tarmini s'otteni:

Quandu hè un angulu rettu, s'otteni è dunqua

Si otteni dunqua in stu casu u tiurema di Pitagora

Generalisazioni chì ùn faci micca usu di a trigunumitria[mudificà | edità a fonte]

Generalisazioni di u tiurema di Pitagora.

Hè pussibuli di stenda u tiurema di Pitagora à qualsiasi triangulu senza fà usu di funzioni trigunumetrichi com'è u sinu è u cusinu. Datu un triangulu com'è nantu à a figura, si tracciani dui sigmenti chì cullegani u vertici incù dui punti è cuntinuti in u sigmentu oppostu (oppuri in un so prulungamentu), di tali manera ch'è l'anguli è siini tremindù uguali à l'angulu di u vertici . A figura mostra un casu in u quali l'angulu ottusu: s'eddu hè acutu, i dui punti è sò in ordini inversu (u prima a dritta è u sicondu a manca) è poni escia da u sigmentu .

Privali a siguenti rilazioni:

Quandu hè un angulu rettu, i punti è cuincidini è s'otteni u tiurema di Pitagora

A rilazioni generali pò essa dimustrata sfruttendu a similitudina frà i trianguli , è , chì/ch'è porta à i rilazioni

Si otteni cusì

Summendu i dui uguaglianzi s'otteni a rilazioni iniziali.

Lighjenda di Pitagora è di i chjappeddi[mudificà | edità a fonte]

Rapprisintazioni grafica di u tiurema.

Una lighjenda conta ch'è Pitagora avaria furmulatu u so tiurema mentri stava aspittendu un'udienza da Policrate. Pusendu in un grandi salonu di u palazzu di Samo, Pitagora si missi à ussirvà i chjappeddi quatrati di u pavimentu, si pensa ch'è n'avaria vistu una rangata tuttu à fattu sopra à una diagunali, furmendu dui trianguli rittanguli uguali, ma in più d'essa dui trianguli rittanguli erani dinò isusceli, avendu i dui lati uguali. Pitagora imaginò un quatratu custruitu nantu à a diagunali di ruttura di a chjappedda, un quatratu avendu com'è lati i diagunali di i chjappeddi circustanti.

A dimustrazioni hè a siguenti:

  • l'aria d'ognuna di i chjappeddi aghjacenti à i cateti era di: 2 mezi chjappeddi (=1 chjappedda);
  • a somma di i dui arii era dunqua di: 4 mezi chjappeddi (=2 chjappeddi);
  • l'aria di u quatratu custruitu nantu à l'iputenusa (diagunali di a chjappedda) era di: 4 mezi chjappeddi.[6]

Altri figuri[mudificà | edità a fonte]

U Tiurema di Pitagora cuntinueghja à valè quandu annantu à ogni latu d'un triangulu rittangulu si custruiscini figuri rigulari diffarenti da u quatratu, com'è u triangulu equilateru, u pentagunu rigulari è l'esagunu rigulari aldilà di u mezu chjerchju.

Noti[mudificà | edità a fonte]

  1. Hè affirmatu calchì volta ch'è u tiurema di Pitagora era cunnisciutu da l'antichi egizziani. Carl B. Boyer escludi 'ss'iputesa, basendu si nantu à l'assenza di u tiurema da i papiri matematichi chì sò stati ritruvati. Si pò veda par quissa l'opara di Boyer citata in bibliugrafia, in a pag. 20 di l'edizioni taliana.
  2. (in inglesu) Alpay Ozdural (1995). Omar Khayyam, Mathematicians, and "cunvarsazioni" with Artisans. Journal of the Society of Architectural Vol. 54, Nò. 1, Mari., 1995
  3. (in inglesu) Alpay Ozdural, Mathematics and Arts: Connections between Theory and Practice in the Medieval Islamic World, Historia Mathematica, Vulumu 27, Issue 2, May 2000, Pages 171-201.
  4. (in inglesu) Vedi appendici di L. J. Rogers'1897 publication. Biography of Henry Perigal: On certain Regular Polygons in Modular Network. Proceedings London Mathematical Society. Vulumu s1-29, Appendix pp. 732-735.
  5. (in inglesu) Geometric Dissections and Transpositions
  6. Lighjenda di Pitagora è di i chjappeddi di Policrate

Bibliugrafia[mudificà | edità a fonte]

Da veda dinò[mudificà | edità a fonte]

Liami esterni[mudificà | edità a fonte]

Fonti[mudificà | edità a fonte]

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