Tiurema di Pitagora

U tiurema di Pitagora (o Teurema di Pitagora) hè un tiurema di a giumitria euclidea chì stabilisci una rilazioni fundamintali trà i lati d'un triangulu rittangulu è com'è pò essa cunsidaratu dinò una virsioni limitata ad eddi di u Tiurema di Carnot.

Urighjina

Ciò ch'è à l'ebbica muderna hè cunnisciutu com'è tiurema di Pitagora hè di solitu attribuitu di a filosofu è matematicu Pitagora. In rialità u so enunciatu (ma micca a so dimustrazioni) era ghjà cunnisciutu^[1] da i babilunesi, è era cunnisciutu ancu in China è sicuramenti in India com'eddi a dimostrani molti scritti frà i quali u Yuktibhasa. A dimustrazioni di u tiurema hè inveci incù ogni prubabilità ultiriori à Pitagora.

Enunciatu

In ogni triangulu rittangulu u quatratu custruitu nantu à l'iputenusa hè sempri equivalenti à a somma di i quatrati custruiti annantu à i cateti.

oppuri: In ogni triangulu rittangulu l' aria di u quatratu custruitu nantu à l'iputenusa hè sempri uguali à a somma di l' arii di i quatrati custruiti annantu à i cateti.

Datu un triangulu rittangulu di lati a, b è c, è imprudendu c par disignà a so iputenusa è a è b par i so cateti, u tiurema hè espressu da l'equazioni:

a^{2}+b^{2}=c^{2}\,

o, di manera altirnativa, risulvendu lu par c:

{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=c.

Da induva si ricavani i cateti rispettivi :

{\sqrt {c^{2}-b^{2}}}=a.

è

{\sqrt {c^{2}-a^{2}}}=b.

S'è a terna ${a,b,c}$ hè custituita da numari intieri tandu si chjama terna pitagorica.

Invirsamenti, ogni triangulu in u quali i trè lati virificheghjani sta prubità hè rittangulu: stu tiurema, incù a so dimustrazioni, apparisci in l'ultimu enunciatu di l'Elementi.

Dimustrazioni

A dimustrazioni classica di u tiurema di Pitagora cumpletta u prima libru di l' Elementi di Euclide, è ni custituisci u filu cunduttori. Essendu datu ch'eddu richiedi u postulatu di i paralleli, ùn vali micca in i giumitrii non-euclidei è in a giumitria neutrali. In u testu d'Euclide a dimustrazioni di u tiurema hè immediatamenti priciduta da a dimustrazioni di a custruibilità di i quatrati. L'esistenza stessa di i quatrati dipendi infatti da u postulatu di i paralleli è sparisci in i giumitrii non euclidei. St'aspettu di u prublemu hè in generali trascuratu in a didattica cuntimpuranea, chì tendi spessu à assuma com'è evidenti l'esistenza di i quatrati.

A dimustrazioni di u tiurema di Pitagora cunsisti in u fattu di riempia un stessu quatratu di latu uguali à a somma di i cateti prima incù quattru copii di u triangulu rittangulu più u quatratu custruitu nantu à l'iputenusa è dopu incù quattru copii di u triangulu rittangulu più i quatrati custruiti annantu à i cateti, com'è annantu à a figura.

Essendu u tiurema un di i più noti di a storia di a matematica, ni esistini multissimi dimustrazioni, in tutali parechji cintunara, opara di matematichi, astronumi, agenti di cambiu, par asempiu un prisidenti americanu James A. Garfield è Liunardu da Vinci. Par stu tiurema sò stati classificati da u scentificu americanu Elisha Scott Loomis 371 diffarenti dimustrazioni, chì sò stati publicati in u 1927 in u so libru The Pythagorean Proposition.

Dimustrazioni di Abu'l-Wafa

A dimustrazioni attribuita à u matematicu è astronumu persianu Abu'l-Wafa versu a fini di u X seculu d.C.^[2]^[3] è riscuparta da l'agenti di cambiu Henry Perigal (truvata in u 1835-1840^[4], publicata in 1872 è dopu in 1891^[5]) si basa nantu à a scumpusizioni di u quatratu custruitu nantu à u catetu maiò, in giaddu annantu à l'imaghjini: tagliendu lu infatti incù dui retti passanti par u so centru, una parpindiculari è una parallela à l'iputenusa, si pò ricumpona di manera à incurpurà l'altru quatratu, è furmendu u quatratu nantu à l'iputenusa, com'è in a figura. Stu prucidimentu hè liatu à u prublemu di a trisezioni di u quatratu.

Dimustrazioni di Airy

Esisti ancu una dimustrazioni in forma puetica, di l'astronumu Sir George Airy, in inglesu:

"I am, as you can see,
a² + b² − ab
When two triangles on me stand,
Square of hypothenuse is plann'di
But if I stand on them instead
The squares of both sides are read."

di a quali una traduzioni littarali hè

"Com'è pudeti veda, sò
a² + b² − ab
Quandu ci sò dui trianguli sopra à mè
hè rapprisintatu u quatratu di l'iputenusa
Ma s'è inveci stocu eiu sopra ad eddi
Si leghjini i quatrati di i dui lati"

I versi si rifiriscini à a parti bianca: i primi dui trianguli sò quiddi rossi, i sicondi quiddi turchinu.

Tantu a dimustrazioni di Perigal ch'è quist'ultima sò intarissanti, chì sò sputicamenti giumetrichi, veni à dì ùn richiedini alcuna difinizioni d'uparazioni aritmetichi, ma solu cungruenzi d'arii è di sigmenti.

Quatrati cuncentrichi di Pomi

Dimustrazioni giumetrica basata annantu à dui quatrati cuncentrichi, di lati rispittivamenti pari à l'iputenusa (c) è à a somma di i dui cateti (a+b).

Com'eddu si vedi annantu à a figura, tolti i 4 trianguli rittanguli (in giaddu d'aria $(a*b)/2$ ) à u quatratu più grandi, chì currispondi à l'aria $(a+b)^{2}$ , s'otteni u quatratu più chjucu, rapprisintatu in biancu, chì equivali inveci à l'aria $c^{2}$ .

Dunqua $(a+b)^{2}-4*(a*b)/2=c^{2}$
d'induva risulvendu s'otteni : $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Sta dimustrazioni hà l'avantaghju d'avè una ripprisintazioni visuali simplicia è diretta, chì ùn richiedi micca u spustamentu è soprappusizioni di formi com'è l'altri dimustrazioni giumetrichi chì sò stati furmulati.

Dimustrazioni di Garfield

Un'antra dimustrazioni giumetrica particularamenti significativa, chì in a so custruzzioni ùn cumparisci alcun' quatratu, fù truvata in u 1876 da Garfield, chì in seguitu divintò u vintesimu Prisidenti di i Stati Uniti d'America. Tandu in l'armata, Garfield cummintò u so risultatu: "Quissa hè calcosa annantu à a quali i dui rami di u parlamentu pudarani essa d'accordu".

A dimustrazioni hè a siguenti:

si cunsidareghja una copia di u triangulu rittangulu in quistioni, ghjirata di 90 gradi di manera à allinià i dui cateti diffarenti (in a figura accantu u rossu è u turchinu). Si uniscini dopu l'estremità di l'iputenusi, è s'otteni un trapeziu. Uguagliendu l'aria di u trapeziu à a somma di quiddi di i trè trianguli retti, si dimostra u tiurema.

In formuli, dittu a u catetu rossu, b u turchinu è c l'iputenusa, è ricurdendu a putenza di u binomiu

{\frac {(a+b)^{2}}{2}}={\frac {ab}{2}}+{\frac {ab}{2}}+{\frac {c^{2}}{2}}\,\,\Rightarrow \,\,a^{2}+b^{2}=c^{2}

Una apparenti dimustrazioni incù i numari cumplessi

Una (apparenti) dimustrazioni sputicamenti algebrica faci usu di i numari cumplessi è di a formula d'Euleru: siini a, b i cateti è c l'iputenusa. S'è i cateti sò alliniati annantu à l'assi, t'avemu

a+ib=ce^{i\theta }

Cunsidarendu tandu u cumplessu cunghjucatu di $a+ib$ :

a-ib=ce^{-i\theta }

Multiplichendu trà eddi si otteni

a^{2}+b^{2}=c^{2}

In rialità si tratta sola d'una dimustrazioni apparenti, appostu ch'è u risultatu hè suppostu implicitamenti in l'usu di l'idantità $e^{i\theta }e^{-i\theta }=1$ .

S'è infatti si sustituisci à l'espuninziali imaginariu a so difinizioni, l'idantità si rivela essa: $(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )(\cos \theta -i\operatorname {sen} \theta )=1$ , veni à dì $\cos ^{2}\theta +\operatorname {sen} ^{2}\theta =1$

è l'ultima idantità bedda cunnisciuta ùn hè altru ch'è una pussibuli furmulazioni di l'enunciatu di u tiurema di Pitagora.

(S'è inveci l'espuninziali imaginariu hè difinitu à traversu a somma di a so seria di Taylor, tandu u prublemu diventa quiddu di dimustrà a rilazioni $a+ib=ce^{i\theta }$ , induva a, b è c sò i misuri di i cateti è l'iputenusa d'un triangulu rittangulu: prublemu chì a so suluzioni ùn hè micca più simplicia ch'è i dimustrazioni pricidenti di u tiurema di Pitagora).

Incù i tiuremi di Euclide

Un'antra dimustrazioni improda u prima tiurema di Euclide. Si traccia l'altezza nantu à l'iputenusa, di lunghezza $h$ . Quidda spezza l'iputenusa in dui sigmenti, di lunghezza $p$ è $q$ . U tiurema di Euclide furnisci i rilazioni

{\frac {a}{p}}={\frac {c}{a}},\ {\frac {b}{q}}={\frac {c}{b}},

da induva

a^{2}=cp,\ b^{2}=cq

è dunqua

a^{2}+b^{2}=c(p+q)=c^{2}.\,\!

Incù i tiuremi di l'inchjerchju

Un'antra dimustrazioni pò essa ottinuta à traversu parechji tiuremi liati à a circumfarenza iscritta à un triangulu è par via di calchì simplicia passata algebrica.

Lemma 1: Tinendu contu di u tiurema di i tangenti si pò diducia da a figura pricidenti ch'è a distanza trà un vertici è u puntu di tangenza di un di i dui lati di u quali hè estremu incù l'inchjerchju hè uguali à a diffarenza trà u mezu perimetru è u latu oppostu a quiddu vertici. Infatti ogni latu hè cumpostu da dui di sti trè sigmenti, inoltri sti sigmenti sò uguali à dui à dui (quiddi aghjacenti, sempri par via di u tiurema di i tangenti) è a somma di tutti è sei hè uguali à u perimetru; par quissa a somma di tutti è trè sigmenti di lunghezza distinta hè uguali à u mezu perimetru è ognunu di quissi hè dunqua u mezu perimetru menu a somma di l'altri dui, è dunqua u latu oppostu à u vertici à u quali apparteni.

Lemma 2: In u casu particulari d'un triangulu rittangulu u raghju di a circumfarenza iscritta hè uguali à u sigmentu chì và da u vertici di l'angulu rettu à u puntu di tangenza incù l'inchjerchju. Quissa parchì, cunsidarendu u quadrilateru avendu com'è vertici u vertici di l'angulu rettu, i punti di tangenza annantu à i cateti è u incentru, si vidaria ch'eddu t'hà trè anguli retti(dunqua ancu u quartu) è veni à dì ch'eddu hè un rittangulu; ma ancu ch'eddu t'hà dui lati consecutivi cungruenti (un' antra volta par via di u tiurema di i tangenti), par quissa hè un rittangulu incù i diminsioni cungruenti, vali à dì un quatratu è dunqua par difinizioni ogni latu di soiu hè cungruenti à tutti l'altri. Quissa implicheghja u lemma chì ci vulia à dimustrà.

Lemma 3: Sii $p$ u mezu perimetru, $Ri$ u raghju di a circumfarenza inscritta è $A$ l'aria di u triangulu in quistioni (micca nicissariamenti rittangulu, ma tali in a parti siguenti di a noscia dimustrazioni); s'hà a formula: $A=Rip$ . Quissa si pò virificà cunsidarendu i trè trianguli avendu com'è altezza Ri è com'è basa è eddu rilativa un di i trè lati è custatendu ch'è A hè uguali à a somma di l'arii di quiddi trè trianguli; dunqua, chjamendu $a$ , $b$ è $c$ i trè lati: $A=Ria/2+Rib/2+Ric/2=Ri(a+b+c)/2=Rip$ .

Dimustrazioni algebrica: Siini $a$ è $b$ i cateti è $c$ l'iputenusa di u nosciu triangulu rittangulu. Avemu dunqua: $ab/2=(p-c)p$

$ab/2=((a+b+c)/2)((a+b-c)/2)$ à stu puntu, usendu u pruduttu nutevuli "somma par diffarenza" si otteni:

$ab/2=((a+b)^{2}-c^{2})/4$ avà, par via di "quatratu d'un binomiu" si otteni:

$ab/2=(a^{2}+b^{2}+2ab-c^{2})/4$ simplifichendu i dinuminatori:

$ab=(a^{2}+b^{2}+2ab-c^{2})/2$ prusegui:

$ab=a^{2}/2+b^{2}/2+ab-c^{2}/2$

$0=a^{2}/2+b^{2}/2-c^{2}/2$

$c^{2}/2=a^{2}/2+b^{2}/2$ è da quì, finalmenti:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$ chì currispondi par appuntu à l'enunciatu di u tiurema di pitagora.

Inversu

Vali ancu l'inversu di u Tiurema di Pitagora (prupusizioni 48 di u prima libru di l' Elementi di Euclide): "S'è in un triangulu di lati a, b è c vali a rilazioni $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ , tandu u triangulu hè rittangulu".

Dimustrazioni. Sii T un triangulu di lati a, b è c tali ch'è $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Si cunsidareghja un sicondu triangulu rittangulu T' chì t'hà i cateti pari à a è b (hè sempri pussibuli di custruiscia un triangulu rittangulu dati i dui cateti). Par via di u Tiurema di Pitagora (direttu) l'iputenusa di u triangulu T' sarà para a ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ , veni à dì sarà uguali à u latu c di u triangulu T. I dui trianguli T è T' sarani dunqua cungruenti par via di u terzu criteriu di cungruenza, avendu tutti è trè i lati uguali. Ma tandu ancu u triangulu T sarà rittangulu (CVD).

Un curullariu di u tiurema di Pitagora parmetti di ditarminà s'è un triangulu hè rittangulu, acutangulu o ottusangulu. Induva c currispondi à l'iputenusa, u latu più longu di i trè, è a + b > c (altrimenti ùn avemu micca un triangulu), privalini i siguenti rilazioni:

s'è $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ , tandu u triangulu hè rittangulu
s'è $a^{2}+b^{2}>c^{2}$ , tandu u triangulu hè acutangulu
s'è $a^{2}+b^{2}<c^{2}$ , tandu u triangulu hè ottusangulu

Applicazioni pratichi di l'enunciatu inversu

L'enunciatu inversu furnisci ancu un sistemu moltu simpliciu par custruiscia un angulu rettu (o par cuntrullà a quadratura d'un angulu ghjà esistenti) in situazioni pratichi, com'è a tupugrafia o u agrimensura.

À titulu d'asempiu, incù una funi di lunghezza para à a somma d'una terna pitagorica dimu 12, somma di 5, 4 è 3, in una calchì unità di misura) saria sufficenti di dispona i dui purzioni minori di a corda (quiddi di misura 4 è 3) à un certu angulu frà eddi; s'è l'estremità di a funi, disposta infini in forma triangulari, si chjudini, si saparà ch'è l'angulu cumpresu frà i dui purzioni minori di a corda (à stu puntu i dui cateti) hè cirtamenti rettu.

Generalisazioni

U tiurema di Pitagora pò essa generalizatu in parechji modi. Di solitu, una generalisazioni hè una rilazioni chì s'appiega à tutti i trianguli, è chì appiigata à i trianguli rittanguli, hè equivalenti à u tiurema di Pitagora.

Tiurema di u cusinu

A più generalisazioni impurtanti di u tiurema di Pitagora hè forsi u tiurema di u cusinu, chì s'appiega à qualsiasi triangulu (micca nicissariamenti rettu). In un triangulu incù vertici è anguli indicati com'è in a figura, privali l'ugualità:

{\overline {AB}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}-2{\overline {AC}}\cdot {\overline {BC}}\cos \gamma .

In u casu in u quali $\gamma$ sii rettu, vali $\cos \gamma =0$ è dunqua l'enunciatu hè equivalenti à u tiurema di Pitagora. U terminu aghjuntivu pò essa intarpritatu com'è u pruduttu scalariu di i vettori $CA$ è $CB$ .

Tiurema di i sini

U tiurema di i seni metti in rilazioni i lunghezzi di i lati d'un triangulu è i sini di l'anguli opposti. Sta rilazioni s'appiega ancu à qualsiasi triangulu è, in u casu in u quali quiddu saria rittangulu, pò essa cunsidarata equivalenti à u tiurema di Pitagora (bench'è di manera menu diretta ch'è rispettu à u tiurema di u cusinu).

U tiurema di i sini accerta ch'è in un triangulu qualunqua, incù i nutazioni com'è nantu à a figura, privalini i siguenti rilazioni:

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R.

Elevendu à u quatratu:

c^{2}=a^{2}{\frac {\sin ^{2}\gamma }{\sin ^{2}\alpha }},\quad b^{2}=a^{2}{\frac {\sin ^{2}\beta }{\sin ^{2}\alpha }}.

Summendu i tarmini s'otteni:

c^{2}+b^{2}=a^{2}{\frac {\sin ^{2}\gamma +\sin ^{2}\beta }{\sin ^{2}\alpha }}.

Quandu $\alpha$ hè un angulu rettu, s'otteni $\beta =\pi /2-\gamma$ è dunqua

{\frac {\sin ^{2}\gamma +\sin ^{2}\beta }{\sin ^{2}\alpha }}=\sin ^{2}(\pi /2-\beta )+\sin ^{2}\beta =\cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\beta =1.

Si otteni dunqua in stu casu u tiurema di Pitagora

c^{2}+b^{2}=a^{2}.

Generalisazioni chì ùn faci micca usu di a trigunumitria

Generalisazioni di u tiurema di Pitagora.

Hè pussibuli di stenda u tiurema di Pitagora à qualsiasi triangulu senza fà usu di funzioni trigunumetrichi com'è u sinu è u cusinu. Datu un triangulu $ABC$ com'è nantu à a figura, si tracciani dui sigmenti chì cullegani u vertici $A$ incù dui punti $g$ è $h$ cuntinuti in u sigmentu oppostu $BC$ (oppuri in un so prulungamentu), di tali manera ch'è l'anguli $AgB$ è $AhC$ siini tremindù uguali à l'angulu $\alpha$ di u vertici $A$ . A figura mostra un casu in u quali l'angulu $\alpha$ hè ottusu: s'eddu hè acutu, i dui punti $g$ è $h$ sò in ordini inversu (u prima a dritta è u sicondu a manca) è poni escia da u sigmentu $BC$ .

Privali a siguenti rilazioni:

{\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BC}}\cdot ({\overline {Bg}}+{\overline {hC}}).

Quandu $\alpha$ hè un angulu rettu, i punti $g$ è $h$ cuincidini è s'otteni u tiurema di Pitagora

{\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BC}}\cdot ({\overline {Bg}}+{\overline {hC}})={\overline {BC}}^{2}.

A rilazioni generali pò essa dimustrata sfruttendu a similitudina frà i trianguli $ABC$ , $gBA$ è $hAC$ , chì/ch'è porta à i rilazioni

{\frac {\overline {AB}}{\overline {BC}}}={\frac {\overline {Bg}}{\overline {AB}}},\quad {\frac {\overline {AC}}{\overline {BC}}}={\frac {\overline {hC}}{\overline {AC}}}.

Si otteni cusì

{\overline {AB}}^{2}={\overline {BC}}\cdot {\overline {Bg}},\quad {\overline {AC}}^{2}={\overline {BC}}\cdot {\overline {hC}}.

Summendu i dui uguaglianzi s'otteni a rilazioni iniziali.

Lighjenda di Pitagora è di i chjappeddi

Una lighjenda conta ch'è Pitagora avaria furmulatu u so tiurema mentri stava aspittendu un'udienza da Policrate. Pusendu in un grandi salonu di u palazzu di Samo, Pitagora si missi à ussirvà i chjappeddi quatrati di u pavimentu, si pensa ch'è n'avaria vistu una rangata tuttu à fattu sopra à una diagunali, furmendu dui trianguli rittanguli uguali, ma in più d'essa dui trianguli rittanguli erani dinò isusceli, avendu i dui lati uguali. Pitagora imaginò un quatratu custruitu nantu à a diagunali di ruttura di a chjappedda, un quatratu avendu com'è lati i diagunali di i chjappeddi circustanti.

A dimustrazioni hè a siguenti:

l'aria d'ognuna di i chjappeddi aghjacenti à i cateti era di: 2 mezi chjappeddi (=1 chjappedda);
a somma di i dui arii era dunqua di: 4 mezi chjappeddi (=2 chjappeddi);
l'aria di u quatratu custruitu nantu à l'iputenusa (diagunali di a chjappedda) era di: 4 mezi chjappeddi.^[6]

Altri figuri

U Tiurema di Pitagora cuntinueghja à valè quandu annantu à ogni latu d'un triangulu rittangulu si custruiscini figuri rigulari diffarenti da u quatratu, com'è u triangulu equilateru, u pentagunu rigulari è l'esagunu rigulari aldilà di u mezu chjerchju.

Noti

↑ Hè affirmatu calchì volta ch'è u tiurema di Pitagora era cunnisciutu da l'antichi egizziani. Carl B. Boyer escludi 'ss'iputesa, basendu si nantu à l'assenza di u tiurema da i papiri matematichi chì sò stati ritruvati. Si pò veda par quissa l'opara di Boyer citata in bibliugrafia, in a pag. 20 di l'edizioni taliana.
↑ (EN) Alpay Ozdural (1995). Omar Khayyam, Mathematicians, and "cunvarsazioni" with Artisans. Journal of the Society of Architectural Vol. 54, Nò. 1, Mari., 1995
↑ (EN) Alpay Ozdural, Mathematics and Arts: Connections between Theory and Practice in the Medieval Islamic World, Historia Mathematica, Vulumu 27, Issue 2, May 2000, Pages 171-201.
↑ (EN) Vedi appendici di L. J. Rogers'1897 publication. Biography of Henry Perigal: On certain Regular Polygons in Modular Network. Proceedings London Mathematical Society. Vulumu s1-29, Appendix pp. 732-735.
↑ (EN) Geometric Dissections and Transpositions
↑ Lighjenda di Pitagora è di i chjappeddi di Policrate

Bibliugrafia

Carl B. Boyer, Storia di a matematica, Mondadori, Milanu, 1990. ISBN 978-88-04-33431-6
Gino Loria, I scenzi asatti in l'antica Grecia, 2^ è, Milanu 1914

Da veda dinò

Liami esterni

Fonti

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.

[1] Hè affirmatu calchì volta ch'è u tiurema di Pitagora era cunnisciutu da l'antichi egizziani. Carl B. Boyer escludi 'ss'iputesa, basendu si nantu à l'assenza di u tiurema da i papiri matematichi chì sò stati ritruvati. Si pò veda par quissa l'opara di Boyer citata in bibliugrafia, in a pag. 20 di l'edizioni taliana.

[2] (EN) Alpay Ozdural (1995). Omar Khayyam, Mathematicians, and "cunvarsazioni" with Artisans. Journal of the Society of Architectural Vol. 54, Nò. 1, Mari., 1995

[3] (EN) Alpay Ozdural, Mathematics and Arts: Connections between Theory and Practice in the Medieval Islamic World, Historia Mathematica, Vulumu 27, Issue 2, May 2000, Pages 171-201.

[4] (EN) Vedi appendici di L. J. Rogers'1897 publication. Biography of Henry Perigal: On certain Regular Polygons in Modular Network. Proceedings London Mathematical Society. Vulumu s1-29, Appendix pp. 732-735.

[5] (EN) Geometric Dissections and Transpositions

[6] Lighjenda di Pitagora è di i chjappeddi di Policrate

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