Cusinu

In matematica, in particulari in trigunumitria, datu un triangulu rittangulu, u cusinu di unu di i dui anguli interni aghjacenti à l'iputenusa hè difinitu com'è u rapportu trà i lunghezzi di u catetu aghjacenti à l'angulu è di l'iputenusa.

Di manera generali, u cusinu d'un angulu $\alpha$ , aspressu in gradi o radianti, hè una quantità chì dipendi solu da $\alpha$ , custruita usendu a circumfarenza unitaria.

Difiniscendu com'è $\cos(x)$ u valori di u cusinu in l'angulu $x$ , s'otteni a funzioni cusinu, una funzioni trigunumetrica di fundamintali impurtanza in l'analisa matematica.

Difinizioni

In u triangulu rossu nantu à a figura, u cusinu di x hè datu da: $\cos {x}={\overline {OC}}$ Più in generali, si difinisci u cusinu pigliendu una circumfarenza di raghju unitariu è una mezaretta chì esci da l'urighjina chì forma un angulu $x$ incù l'assu di l'ascissi com'è nantu à a figura. U cusinu di l'angulu $x$ hè difinitu cusì com'è u valori di a cuurdinata $x$ di u puntu d'intarsizioni trà a mezaretta è a circumfarenza (nantu à a figura, hè a lunghezza di u sigmentu $OC$ ).

A tavuledda siguenti esponni i principali valori nutevuli assunti da a funzioni cusinu:

$x$ in radianti	0	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$	$\pi$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi$
$x$ in gradi	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
$\cos(x)$	1	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$ \|\| 0 \|\| -1 \|\| 0 \|\| 1

Esisti un'antra difinizioni di cusinu in rilazioni à i rutazioni: u cusinu d'un angulu $x$ hè u cumpunenti longu l'assu di l'ascissi di u virsori $i$ , virsori di l'assu $x$ , ghjiratu di $x$ .

Funzioni cusinu

A funzioni cusinu hè difinita assucendu à $x$ u cusinu di l'angulu $x$ (rapprisintatu in radianti), è hè indicata incù $f(x)=\cos {x}$ . Apposta ch'è $x$ è $x+2k\pi$ difiniscini u stessu angulu par qualsiasi $k$ intreiu, a funzioni cusinu hè una funzioni piriodica di periodu $2\pi$ (induva $2\pi$ hè l'angulu ghjiru). A curva di u graficu di sta funzioni hè dinuminata cusinusoidi. L'insemu di variabilità di a funzioni cusinu hè $[-1,1]$ , veni à dì applichendu 'ssa funzioni à qualunqua numaru riali s'otteni sempri un numaru riali cumpresu trà $-1$ è $1$ , estremi inclusi.

Cusinu è sinu

Trà sinu è cusinu esisti a rilazioni fundamintali, ditta equazioni fundamintali di a trigunumitria, o unità guniumetrica:

\sin ^{2}{x}+\cos ^{2}{x}=1,

chì hè cunsiquenza di u tiurema di Pitagora.

Prubità analitichi di u cusinu

A dirivata di a funzioni cusinu hè l'oppostu di a funzioni sinu. T'avemu dunqua: $(\cos x)^{\prime }=-\sin x.$

Quissa pò essa dimustrata applichendu una formula di prustaferesi par calculà a limita di u rapportu incrimintali di u cusinu:

{\frac {\cos(x+h)-\cos x}{h}}={\frac {-2\sin {\frac {2x+h}{2}}\sin {\frac {h}{2}}}{h}}=-{\frac {\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}\sin \left(x+{\frac {h}{2}}\right){\underset {h\rightarrow 0}{\longrightarrow }}-\sin x

^[1].

A dirivata siconda di u cusinu hè a funzioni stessa cambiata di segnu:

(\cos x)^{\prime \prime }=-\cos x,

par via di cunsiquenza, a funzioni cusinu com'è a funzioni sinu) risolvi l'equazioni diffarinziali

y^{\prime \prime }+y=0

,

chì discrivi u motu d'un uscillatori armonicu ideali libaru.

A funzioni cusinu hè una funzioni à dirivati equilimitati (s'hà infatti $|y^{(k)}|\leq 1$ per ogni $k$ ), ed hè par via di cunsiquenza analitica; a so espansioni in seria di Taylor hè: $\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots$ $=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$

par ogni $x$ riali.

In analisa matematica 'ss'ugualità hè à spessu usata par difiniscia u cusinu. Listessa seria difinisci u cusinu com'è funzioni olumorfa annantu à tuttu u pianu cumplessu.

Equazioni fundamintali rilativi à u cusinu

Vali a siguenti formula d'addizioni (è suttrazzioni) d'archi:

\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y,

è in particulari a formula di duplicazioni

\cos {(2x)}=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1.

I siguenti sò i furmuli di prustaferesi rilativi à u cusinu:

\cos {x}+\cos {y}=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}},

\cos {x}-\cos {y}=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}.

Vali ancu a catena di disugualità:

0<x\cos x<\sin x<x\quad {\text{ par }}\quad 0<x<{\frac {\pi }{2}}.

Si cunsidareghja a circumfarenza unitaria, è sii $0<x<\pi /2$ , com'è nantu à a figura.

Si tracci a mezaretta chì esci da l'urighjina chì forma un angulu $x$ (antiurariu) rispettu à u mezassu pusitivu di l'ascissi. Tandu i cuurdinati di u puntu d'intarsizioni $P$ di a mezaretta incù a circumfarenza sò $(\cos x,\sin x)$ . Si traccia u sigmentu chì unisci $P$ à u puntu $A=(1,0)$ . Sii inoltri $T$ u puntu d'intarsizioni trà a mezaretta è a retta d'ascissa $1$ (assu di i tangenti). $T$ hà cuurdinati $(1,\tan x)$ .

Si nota ch'è u triangulu $POA$ hè strittamenti rinchjusu in u sittori circulari $POA$ , u quali hè rinchjusu strittamenti in u triangulu $TOA$ . Vali tandu a disugualità di i rispittivi arii (si ricorda ch'è $x$ hè l'angulu, aspressu in radianti):

0<{\frac {1}{2}}\sin x<{\frac {1}{2}}x<{\frac {1}{2}}{\frac {\sin x}{\cos x}},

veni à dì

0<\sin x<x<{\frac {\sin x}{\cos x}}.

Da a prima parti di a disugualità si ricava ch'è $0<\sin x<x$ , mentri cunsidarendu a siconda, dividendu veni à dì par $\sin x$ (ciò chì hè pussibuli parchì $\sin x>0$ ), s'utteni:

1<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}},

veni à dì

\sin x\cos x<x\cos x<\sin x,

induva à a fini s'hè multiplicatu par $\sin x$ è par $\cos x$ , ciò chì priserva u versu di a disugualità parchì sò tremindù pusitivi. Ricapitulendu i risultati,

$0<x\cos x<\sin x<x.$

Q.E.D..

}}

Esisti ancu una'idantità trigunumetrica chì metti in rilazioni a funzioni cusinu à a funzioni tangenti:

\cos {x}={\frac {1-\tau ^{2}}{1+\tau ^{2}}}\quad {\text{ incù }}\quad \tau =\tan {\frac {x}{2}}

^[2].

st'idantità si svela di fundamintali impurtanza in a risuluzioni d'equazioni guniumetrichi in a quali a scunnisciuta figura com'è argumentu sii d'un sinu sii d'un cusinu (o di funzioni dirivati da quiddi). Esisti, infatti, un'idantità analoga par ciò chì riguarda u sinu, ciò chì parmetti a risuluzioni di l'equazioni incù a scunnisciuta $\tau$ . Di listessa manera, si pò sfruttà sta rilazioni par u calculu di i primitivi di funzioni guniumetrichi.

Difinizioni currilati

U reciprocu di u cusinu (difinitu induva u cusinu hè diffarenti da zeru) hè a secanti:

\sec x={\frac {1}{\cos x}}.

A funzioni cusinu hè iniettiva nantu à l'intarvallu $[0,\pi ]$ è hà dunqua una inversa, chjamata arcucusinu (indicatu incù $\arccos$ o incù $\cos ^{-1}$ chì ripiglia a nutazioni di a funzioni inversa).

Urighjina di u nomu

U terminu cusinu stà par "cumplimintariu di u sinu". Infatti, par anguli trà $0$ è $\pi /2$ , u cusinu d'un angulu hè u sinu di l'angulu cumplimintariu, veni à dì : $\cos {x}=\sin \left({\frac {\pi }{2}}\pm x\right).$ sta rilazioni, chì si ricava da i furmuli di somma d'archi, hè valida par ogni $x$ ; eppuri a nuzioni giumetrica d'angulu cumplimintariu s'applicheghja solu l'anguli pusitivi, è dunqua cumpresi trà $0$ è $\pi /2$ .

Noti

↑ L'ultimu passaghju faci usu di u limita nutevuli:
$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,$
chì si pò dimustrà giumitricamenti.
↑ Infatti s'hà, in virtù di l'unità guniumetrica è dividendu par $\cos {x}$ (affinch'è ùn fussi micca nullu), l'idantità
$\cos {(2x)}=\cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{x}={\frac {\cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{x}}{\cos ^{2}{x}+\sin ^{2}{x}}}={\frac {1-\tan ^{2}{x}}{1+\tan ^{2}{x}}}$ .

Da veda dinò

Fonti

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.

[1] L'ultimu passaghju faci usu di u limita nutevuli:
$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,$
chì si pò dimustrà giumitricamenti.

[2] Infatti s'hà, in virtù di l'unità guniumetrica è dividendu par $\cos {x}$ (affinch'è ùn fussi micca nullu), l'idantità
$\cos {(2x)}=\cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{x}={\frac {\cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{x}}{\cos ^{2}{x}+\sin ^{2}{x}}}={\frac {1-\tan ^{2}{x}}{1+\tan ^{2}{x}}}$ .

[1]

[2]