Triangulu

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Un triangulu

In giumitria, u triangulu hè un poligunu furmatu da trè anguli o vertici è da trè lati. Ripprisenta a figura incù u più picculu numaru di lati, chì trè hè u numaru minimu di sigmenti nicissarii par dilimità una superficia chjusa.

Carattaristichi di u triangulu[mudificà | edità a fonte]

A somma di l'anguli interni d'un triangulu hè uguali à 180°.

U triangulu hè carattarizatu da i siguenti prubità:

  1. hè una figura indifurmevuli, à a diffarenza di i poliguni incù un grandi numaru di lati; assignati i lunghezzi di i lati, sò ditarminati univucamenti ancu l'anguli;
  2. hè l'unicu poligunu par u quali ùn hè micca richiestu ch'eddu sii rigulari parch'eddu si pudissi circuscriva è iscriva una circumfarenza, parchì par trè punti passa sempri una è una sola circumfarenza;
  3. a somma di l'anguli interni hè uguali à un angulu paru, veni à dì 180°, essendu quantunqua pricisatu chì 'ss'ugualità vali sultantu in a giumitria euclidea è micca in altri tipi di giumitria com'è a giumitria sferica è quidda iperbolica, induva inveci 'ssa somma hè, rispittivamenti, più maiori è minori ch'è 180°;
  4. a somma di dui lati devi essa sempri più grandi ch'è u terzu latu, è à a diffarenza di dui lati devi essa sempri più minori ch'è u terzu latu.

Dui trianguli sò cungruenti s'eddi suddisfani alminu un di i criterii di cungruenza.

Dui trianguli si dicini simili s'eddi suddisfani alminu un di i criterii di similitudina.

Classificazioni di i trianguli[mudificà | edità a fonte]

I trianguli poni essa classificati siont'è a lunghezza rilativa di i lati:

  • In un triangulu equilateru tutti i lati ani una lunghezza uguali. Un triangulu equilateru si pò difiniscia di manera equivalenti com'è triangulu equiangulu, vali à dì un triangulu chì t'hà i so anguli interni di uguali ampiezza, para à 60°.
  • In un triangulu isusceli dui lati ani una lunghezza uguali. Un triangulu isusceli si pò difiniscia di manera equivalenti com'è un triangulu chì t'hà dui anguli interni di uguali ampiezza.
  • In un triangulu scalenu tutti i lati ani lunghezzi diffarenti. Un triangulu scalenu si pò difiniscia di manera equivalenti com'è un triangulu avendu i trè anguli interni d'ampiezzi diffarenti.
Triangulu equilateru Triangulu isusceli Triangulu scalenu
Equilateru Isusceli Scalenu

I trianguli poni essa classificati ancu siont'è i diminsioni di u so angulu internu più ampiu; sò discritti di seguitu usendu i gradi d'arcu.

Par i trianguli chì ùn sò micca rittanguli vali una generalisazioni di u tiurema di Pitagora cunnisciuta in trigunumitria com'è tiurema di Carnot.

Triangulu rittangulu Triangulu angulu ottusu Triangulu angulu acutu
Rittangulu Angulu ottusu Angulu acutu

Punti nutevuli[mudificà | edità a fonte]

À ogni triangulu sò assuciati parechji punti, ciascunu di i quali assumi un rollu chì, in calchì manera, u qualificheghja com'è cintrali par u triangulu stessu. Si poni definiscia sti punti di manera cuncisa riferendu si à un triangulu T di u quali dinutemu cù A, B è C i vertici è i lati opposti rispittivamenti cù a, b è c.

  • l'ortucentru di T hè l'intersizzioni di i so altezzi;
  • u baricentru o cintroidi di T hè l'intersizzioni di i so midiani;
  • l'incentru di T hè l'intersizzioni di i so trè bisettrici, vali à dì u centru di l'inchjerchju di T;
  • u circucentru di T hè l'intersizzioni di i so trè assi, vali à dì u centru di a so circumfarenza circuscritta (vedi circumchjerchju);
  • l'excentru di T oppostu à un di i so vertici A hè l'intersizzioni di a so bisettrici in A è di i dui bisettrici esterni rilativi à i dui vertici rimanenti B è C;
  • u puntu di Bevan di T hè u circucentru di u triangulu excintrali di T;
  • u puntu d'Apolloniu di T hè l'intersizzioni di i trè sigmenti chì rispittivamenti uniscini un vertici A di T incù u puntu in u quali l'exchjerchju di T oppostu à A hè tangenti à u chjerchju tangenti à i trè exchjerchji di T;
  • u puntu di Gergonne di T hè l'intersizzioni di i trè sigmenti chì rispittivamenti uniscini un vertici A di T incù u puntu in u quali u latu di T oppostu à A hè tangenti di l'inchjerchju di T;
  • u puntu di Nagel di T hè l'intersizzioni di i trè sigmenti ciascunu di i quali unisci un vertici di T incù u puntu in u quali u so latu oppostu hè tangenti di u currispundenti exchjerchju;
  • u puntu di Nabulionu di T hè l'intersizzioni di i trè sigmenti chì cullegani ognunu di i so vertici A incù u centru di u triangulu equilateru custruitu, esternamenti à T, nantu à u latu a oppostu à A;
  • u centru di i novi punti di T hè u centru di u cusiddittu chjerchju di i novi punti (o chjerchju di Feuerbach) di T; sti novi punti cumprendini i trè punti medii di i lati di T, i trè peda di l'altezzi di T, i punti medii di i trè sigmenti ciascunu di i quali unisci un vertici di T incù l'ortucentru di T.

Formuli[mudificà | edità a fonte]

Formuli trigunumetrichi[mudificà | edità a fonte]

S'appiega a trigunumitria par truvà l'altezza h

L'aria d'un triangulu pò essa truvata par via trigunumetrica. Usendu i lettari di a figura à dritta, l'altezza h=a\sin\gamma. Sustituiscendu quissa in a formula truvata innanzi (par via giumetrica), S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma. L'aria d'un triangulu hè dunqua ancu uguali à u mezu pruduttu di dui lati par u sinu di l'angulu cumpresu.

Par via di cunsiquenza, par l'idantità \sin x=\sin(\pi-x), l'aria d'un qualsiasi triangulu incù i dui lati a è b è l'angulu cumpresu \gamma, hè uguali à l'aria di u triangulu incù i stessi lati a è b ma incù l'angulu cumpresu supplimintariu (\pi-\gamma)

L'aria d'un parallelugramma incù dui lati aghjacenti a è b è angulu cumpresu \gamma hè u doppiu di quidda di u triangulu chì hà i stessi dati, veni à dì ab\sin\gamma.

Par risolva u triangulu, veni à dì ditarminà a misura di tutti i lati è anguli, dati dui lati è l'angulu cumpresu frà eddi, o un latu è i dui anguli aghjacenti, s'usani u tiurema di i sini è u tiurema di u cusinu, quist'ultimu essendu megliu cunnisciutu cù u nomu di tiurema di Carnot.

L'aria A di u triangulu pò essa misurata incù a formula matematica:

A = \frac{bh}{2},

induva b hè a basa è h l'altezza à edda rilativa, parchì u triangulu hè cunsidaratu com'è a mità d'un parallelugramma di basa b è altezza h.

Di manera altirnativa l'aria di u triangulu pò essa calculata incù

A = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)},

induva a, b è c sò i lati è p u mezu perimetru (Formula d'Erone).

Formuli analitichi[mudificà | edità a fonte]

Cunsidarendu un triangulu ABC in u pianu cartesianu individuatu par via di i coppii di cuurdinati di i vertici (x_A,y_A), (x_B,y_B), (x_C,y_C).

A so aria A hè datu da l'esprissioni

A=\frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \big| x_A (y_B - y_C) - x_B(y_A - y_C) + x_C (y_A - y_B) \big|,

oppuri incù un'esprissioni chì ùn improda micca u cuncettu di matrici

A = \frac{ \big| (y_B-y_A)(x_C-x_B)+(y_B-y_C)(x_B-x_A) \big|}{2},

oppuri

A = ( x_M - x_m )( y_M - y_m ) - \left( \frac{1}{2}\big|x_A - x_B \big| \big|y_A - y_B \big| + \frac{1}{2}\big|x_A - x_C \big| \big|y_A - y_C \big| + \frac{1}{2}\big|x_B - x_C \big| \big|y_B - y_C \big|\right),

induva

x_M = \mathrm{max} \{ x_A , x_B , x_C \}
x_m = \mathrm{min} \{ x_A , x_B , x_C \}
y_M = \mathrm{max} \{ y_A , y_B , y_C \}
y_m = \mathrm{min} \{ y_A , y_B , y_C \}

è u so perimetru P hè datu da

P = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2} + \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2} + \sqrt{(x_B - x_C)^2 + (y_B - y_C)^2}.

Giumitrii non euclidei[mudificà | edità a fonte]

U cuncettu di triangulu si stendi ed hè ampiamenti usatu in tutti i giumitrii non euclidei. Un triangulu in una giumitria non euclidea si distingui in generali par u fattu ch'è a somma di i so anguli interni ùn hè micca 180°: sta somma hè infiriori à 180° par ogni triangulu in u casu d'una giumitria iperbolica, mentri edda hè supiriori par ogni triangulu in u casu d'una giumitria ellittica

Liami esterni[mudificà | edità a fonte]

Noti[mudificà | edità a fonte]


Fonti[mudificà | edità a fonte]

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.