Triangulu

Un triangulu

In giumitria, u triangulu hè un poligunu furmatu da trè anguli o vertici è da trè lati. Ripprisenta a figura incù u più picculu numaru di lati, chì trè hè u numaru minimu di sigmenti nicissarii par dilimità una superficia chjusa.

Carattaristichi di u triangulu

A somma di l'anguli interni d'un triangulu hè uguali à 180°.

U triangulu hè carattarizatu da i siguenti prubità:

1. hè una figura indifurmevuli, à a diffarenza di i poliguni incù un grandi numaru di lati; assignati i lunghezzi di i lati, sò ditarminati univucamenti ancu l'anguli;
2. hè l'unicu poligunu par u quali ùn hè micca richiestu ch'eddu sii rigulari parch'eddu si pudissi circuscriva è iscriva una circumfarenza, parchì par trè punti passa sempri una è una sola circumfarenza;
3. a somma di l'anguli interni hè uguali à un angulu paru, veni à dì 180°, essendu quantunqua pricisatu chì 'ss'ugualità vali sultantu in a giumitria euclidea è micca in altri tipi di giumitria com'è a giumitria sferica è quidda iperbolica, induva inveci 'ssa somma hè, rispittivamenti, più maiori è minori ch'è 180°;
4. a somma di dui lati devi essa sempri più grandi ch'è u terzu latu, è à a diffarenza di dui lati devi essa sempri più minori ch'è u terzu latu.

Dui trianguli sò cungruenti s'eddi suddisfani alminu un di i criterii di cungruenza.

Dui trianguli si dicini simili s'eddi suddisfani alminu un di i criterii di similitudina.

Classificazioni di i trianguli

I trianguli poni essa classificati siont'è a lunghezza rilativa di i lati:

• In un triangulu equilateru tutti i lati ani una lunghezza uguali. Un triangulu equilateru si pò difiniscia di manera equivalenti com'è triangulu equiangulu, vali à dì un triangulu chì t'hà i so anguli interni di uguali ampiezza, para à 60°.
• In un triangulu isusceli dui lati ani una lunghezza uguali. Un triangulu isusceli si pò difiniscia di manera equivalenti com'è un triangulu chì t'hà dui anguli interni di uguali ampiezza.
• In un triangulu scalenu tutti i lati ani lunghezzi diffarenti. Un triangulu scalenu si pò difiniscia di manera equivalenti com'è un triangulu avendu i trè anguli interni d'ampiezzi diffarenti.

Equilateru	Isusceli	Scalenu

I trianguli poni essa classificati ancu siont'è i diminsioni di u so angulu internu più ampiu; sò discritti di seguitu usendu i gradi d'arcu.

• Un triangulu rettu (o triangulu rittangulu) hà un angulu internu di 90°, veni à dì un angulu rettu. U latu oppostu à l'angulu rettu hè dittu iputenusa; hè u latu più longu di u triangulu rettu. L'altri dui lati di u triangulu sò ditti cateti. Par stu triangulu vali u tiurema di Pitagora.
• Un triangulu ottusu hà un angulu internu di più di 90°, veni à dì un angulu ottusu.
• Un triangulu acutu hà tutti l'anguli interni di più di 90°, veni à dì t'hà trè anguli acuti.
• Un triangulu equiangulu, veni à dì s'è hà tutti l'anguli interni uguali, veni à dì di 60°.

Par i trianguli chì ùn sò micca rittanguli vali una generalisazioni di u tiurema di Pitagora cunnisciuta in trigunumitria com'è tiurema di Carnot.

Rittangulu	Angulu ottusu	Angulu acutu

Punti nutevuli

À ogni triangulu sò assuciati parechji punti, ciascunu di i quali assumi un rollu chì, in calchì manera, u qualificheghja com'è cintrali par u triangulu stessu. Si poni definiscia sti punti di manera cuncisa riferendu si à un triangulu $T$ di u quali dinutemu cù $A$, $B$ è $C$ i vertici è i lati opposti rispittivamenti cù $a$, $b$ è $c$.

• l'ortucentru di $T$ hè l'intersizzioni di i so altezzi;
• u baricentru o cintroidi di $T$ hè l'intersizzioni di i so midiani;
• l'incentru di $T$ hè l'intersizzioni di i so trè bisettrici, vali à dì u centru di l'inchjerchju di $T$;
• u circucentru di $T$ hè l'intersizzioni di i so trè assi, vali à dì u centru di a so circumfarenza circuscritta (vedi circumchjerchju);
• l'excentru di $T$ oppostu à un di i so vertici $A$ hè l'intersizzioni di a so bisettrici in $A$ è di i dui bisettrici esterni rilativi à i dui vertici rimanenti $B$ è $C$;
• u puntu di Bevan di $T$ hè u circucentru di u triangulu excintrali di $T$;
• u puntu d'Apolloniu di $T$ hè l'intersizzioni di i trè sigmenti chì rispittivamenti uniscini un vertici $A$ di $T$ incù u puntu in u quali l'exchjerchju di $T$ oppostu à $A$ hè tangenti à u chjerchju tangenti à i trè exchjerchji di $T$;
• u puntu di Gergonne di $T$ hè l'intersizzioni di i trè sigmenti chì rispittivamenti uniscini un vertici $A$ di $T$ incù u puntu in u quali u latu di $T$ oppostu à $A$ hè tangenti di l'inchjerchju di $T$;
• u puntu di Nagel di $T$ hè l'intersizzioni di i trè sigmenti ciascunu di i quali unisci un vertici di $T$ incù u puntu in u quali u so latu oppostu hè tangenti di u currispundenti exchjerchju;
• u puntu di Nabulionu di $T$ hè l'intersizzioni di i trè sigmenti chì cullegani ognunu di i so vertici $A$ incù u centru di u triangulu equilateru custruitu, esternamenti à $T$, nantu à u latu $a$ oppostu à $A$;
• u centru di i novi punti di $T$ hè u centru di u cusiddittu chjerchju di i novi punti (o chjerchju di Feuerbach) di $T$; sti novi punti cumprendini i trè punti medii di i lati di $T$, i trè peda di l'altezzi di $T$, i punti medii di i trè sigmenti ciascunu di i quali unisci un vertici di $T$ incù l'ortucentru di $T$.

Formuli

Formuli trigunumetrichi

S'appiega a trigunumitria par truvà l'altezza $h$

L'aria d'un triangulu pò essa truvata par via trigunumetrica. Usendu i lettari di a figura à dritta, l'altezza $h=a\sin \gamma$. Sustituiscendu quissa in a formula truvata innanzi (par via giumetrica), $S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$. L'aria d'un triangulu hè dunqua ancu uguali à u mezu pruduttu di dui lati par u sinu di l'angulu cumpresu.

Par via di cunsiquenza, par l'idantità $\sin x=\sin(\pi -x)$, l'aria d'un qualsiasi triangulu incù i dui lati $a$ è $b$ è l'angulu cumpresu $\gamma$, hè uguali à l'aria di u triangulu incù i stessi lati $a$ è $b$ ma incù l'angulu cumpresu supplimintariu $(\pi -\gamma )$

L'aria d'un parallelugramma incù dui lati aghjacenti $a$ è $b$ è angulu cumpresu $\gamma$ hè u doppiu di quidda di u triangulu chì hà i stessi dati, veni à dì $ab\sin \gamma$.

Par risolva u triangulu, veni à dì ditarminà a misura di tutti i lati è anguli, dati dui lati è l'angulu cumpresu frà eddi, o un latu è i dui anguli aghjacenti, s'usani u tiurema di i sini è u tiurema di u cusinu, quist'ultimu essendu megliu cunnisciutu cù u nomu di tiurema di Carnot.

L'aria $A$ di u triangulu pò essa misurata incù a formula matematica:

$A={\frac {bh}{2}},$

induva $b$ hè a basa è $h$ l'altezza à edda rilativa, parchì u triangulu hè cunsidaratu com'è a mità d'un parallelugramma di basa $b$ è altezza $h$.

Di manera altirnativa l'aria di u triangulu pò essa calculata incù

$A={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},$

induva $a$, $b$ è $c$ sò i lati è $p$ u mezu perimetru (Formula d'Erone).

Formuli analitichi

Cunsidarendu un triangulu $ABC$ in u pianu cartesianu individuatu par via di i coppii di cuurdinati di i vertici $(x_{A},y_{A}),(x_{B},y_{B}),(x_{C},y_{C})$.

A so aria $A$ hè datu da l'esprissioni

$A={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}{\big |}x_{A}(y_{B}-y_{C})-x_{B}(y_{A}-y_{C})+x_{C}(y_{A}-y_{B}){\big |},$

oppuri incù un'esprissioni chì ùn improda micca u cuncettu di matrici

$A={\frac {{\big |}(y_{B}-y_{A})(x_{C}-x_{B})+(y_{B}-y_{C})(x_{B}-x_{A}){\big |}}{2}},$

oppuri

$A=(x_{M}-x_{m})(y_{M}-y_{m})-\left({\frac {1}{2}}{\big |}x_{A}-x_{B}{\big |}{\big |}y_{A}-y_{B}{\big |}+{\frac {1}{2}}{\big |}x_{A}-x_{C}{\big |}{\big |}y_{A}-y_{C}{\big |}+{\frac {1}{2}}{\big |}x_{B}-x_{C}{\big |}{\big |}y_{B}-y_{C}{\big |}\right),$

induva

$x_{M}=\mathrm {max} \{x_{A},x_{B},x_{C}\}$

$x_{m}=\mathrm {min} \{x_{A},x_{B},x_{C}\}$

$y_{M}=\mathrm {max} \{y_{A},y_{B},y_{C}\}$

$y_{m}=\mathrm {min} \{y_{A},y_{B},y_{C}\}$

è u so perimetru $P$ hè datu da

$P={\sqrt {(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}}+{\sqrt {(x_{A}-x_{C})^{2}+(y_{A}-y_{C})^{2}}}+{\sqrt {(x_{B}-x_{C})^{2}+(y_{B}-y_{C})^{2}}}.$

Giumitrii non euclidei

U cuncettu di triangulu si stendi ed hè ampiamenti usatu in tutti i giumitrii non euclidei. Un triangulu in una giumitria non euclidea si distingui in generali par u fattu ch'è a somma di i so anguli interni ùn hè micca 180°: sta somma hè infiriori à 180° par ogni triangulu in u casu d'una giumitria iperbolica, mentri edda hè supiriori par ogni triangulu in u casu d'una giumitria ellittica

Liami esterni

• (in talianu) i_casi_par_a_risuluzioni_d'_un_triangulu.html Studiu di i casi par a risuluzioni d'un triangulu
• (in inglesu) Triangle in MacTutor

Da vede dinò

• Toru (giumitria)
• Giumitria piana
• Angulu rettu
• Catetu
• Mezaretta
• Perimetru
• Sigmentu
• Triangulu isusceli
• Triangulu equilateru
• Tiurema di Pitagora
• Iputenusa
• Tangenti
• Trigunumitria
• Uttaedru

Fonti

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.