Cuncoide di Nicomede

Trè casi di a cuncoide di Nicomede sicondu u valore di a distanza $k$ aghjunta à ogni raghju vettore (u puntu rossu hè u polu, è a retta basa in neru stà à una distanza $d=1$ da u polu):
[a] $k=2$ (turchinu); [b] $k=1$ (verde); [c] $k=1/2$ (rossu).

A cuncoide di Nicomede hè una curva piana cuncipita da u matematicu grecu Nicomede, chì hà campatu à pocu pressu à tempu à Archimede in u seculu II a.C. U nome di cuncoide, chì pruvene da a parolla greca “κογχοειδής”, face riferimentu à u fattu chì a forma di a curva ramenta u prufilu d'una cunchiglia. Hè un tippu di cuncoide induve i raghji vettori tracciati da un puntu fissu taglianu una retta (chjamata “basa”) à una distanza custante.

Data una retta basa parallela à l'assu pulare situata à una distanza $d$ da l'origine, è una distanza fissa $k$ chì si trova annantu à ogni raghju vettore partendu da u puntu induve ellu incrocia a retta basa (sia da daretu sia da davanti), l'equazione in cuurdinate pulare di a cuncoide di Nicomede hè:

$\rho ={\frac {d}{cos\ \omega }}+k$

chì, in cuurdinate cartesiane, piglia a forma:

$(x-d)^{2}(x^{2}+y^{2})=k^{2}x^{2}\,$

U raportu trà i parametri $d$ è $k$ ditermineghja l'aspettu di e duie branche di a curva.

Custruzzione

Polu (origine $O$), assu pulare (rossu), retta basa $m$ è distanza fissa $k$ $(AP=AP')$

Si fissa un puntu $O$ (chjamatu polu) è una linea retta $m$ distante $d$ da $O$. Si cunsidereghja avà una siconda linea retta generica chì passa per $O$, chì incrocia a linea $m$ in $A$. Nantu à sta retta, da i dui lati rispettu à $A$, s'aghjunghjenu dui sigmenti $AP=AP'$ ognunu di lunghezza $k$. U locu geumetricu di i punti $P$ è $P'$ uttenuti fendu girà a linea retta $m$ chì passa per $O$ si chjama cuncoide di Nicomede. A parte di a curva più luntana da $O$ (vale à dì $P$) si chjama branca esterna; è l'altra parte riceve u nome di branca interna.

Hè subitu da verificà chì per un sistema di cuurdinate pulare, l'equazione di a cuncoide piglia a forma:

$\rho ={\frac {d}{\cos \theta }}+k.$

Fendu cuincide u puntu $O$ cù l'origine d'un sistema d'assi cartesiani $xOy$; è pigliendu una retta basa parallela à l'assu $y$ à una distanza $d$ da l'origine, è una distanza $k$ da applicà nantu à i raghji vettori, l'equazione cartesiana di a curva hè:

$(x^{2}+y^{2})(x-d)^{2}=k^{2}x^{2}.$

D'altronde, l'equazioni parametriche piglianu a forma:

${\begin{cases}x=d+k\cos \theta \\y=d\tan \theta +k\sin \theta .\end{cases}}$

Custruzzione di tangenti è nurmale

Nurmale d'una cuncoide di Nicomede

René Descartes hà inclusu in a so opera "La Géométrie" (A Geometria) a spiegazione d'un metudu chì permette di disegnà a nurmale è, dunque, a tangente di a cuncoide di Nicomede.

Quì si espone in breve:

1. Si vole traccià a nurmale d'una cuncoide di Nicomede cù polu $A$ è modulu $b$ in un puntu $C$.
2. A retta direttrice di sta cuncoide si chjamerà $(BH)$, induve $B$ hè tale chì $(AB)$ è $(CH)$ sò perpendiculare à $(BH)$.
3. Disegnà u sigmentu $[CE]$ di manera chì $E$ sia l'interrezzione trà e linee $(BH)$ è $(CA)$.
4. Piazzà u puntu $F$ di manera chì $F$ appartenga à $[CE]$ è $CF=CH$.
5. Piazzà u puntu $G$ nantu à a linea perpendiculare à $(BH)$ è chì passa per $F$ di manera chì $FG=EA$.
6. A linea $(CG)$ hè tandu a nurmale à a curva in $C$.

Trisezzione d'un angulu

Trisezzione di l'angulu $A{\widehat {O}}B$

A curva si pò aduprà per risolve u prublema di a trisezzione di l'angulu. Sia $A{\widehat {O}}B$ un angulu arbitrariu. Da un puntu qualsiasi $L$ di u latu $OB$ si traccia a perpendiculare $LD$ à u latu $OA$, è si cunsidereghja a cuncoide custruita annantu à a retta $LD$ rispettu à u polu $O$ di custante $k=2OL$. A retta parallela à $OA$ tracciata da $L$ scontra a branca esterna di a cuncoide in $C$. Unendu $C$ incù $O$, si hà tandu chì:

$A{\widehat {O}}C={\frac {1}{3}}A{\widehat {O}}B$

L'inconveniente di sta prucedura hè ch'ella ubligheria à traccià una cuncoide à misura per ogni angulu ch'ellu si vole trisecà, ancu s'ellu basta à aduprà u metudu neusis per aghjustà una regula cù duie marche (situate à u doppiu di a distanza $OL$), trà e rette $m$ è $l$; a quale deve ancu passà per l'origine. Quessa ùn accade micca cù altre trisettrici (cum'è per esempiu, a trisettrice di Maclaurin), chì permettenu di trisecà qualsiasi angulu cù a listessa curva.

Dimustrazione

Cuncoide di Nicomede

Sianu $N$ u puntu d'interrezzione di $OC$ cù $LD$ è $M$ u puntu mediu di $CN$. Per via di a definizione di cuncoide, si hà chì:

$CN=k=2OL$

è dunque:

$CM=MN=OL={k \over 2}.$

D'altronde, $NLC$ hè un angulu rettu, dunque $LM$, in quant'è mediana relativa à l'iputenusa $CN$ di u triangulu rettangulu $CLN$, hè a metà di l'iputenusa stessa, vale à dì:

$LM=NM=OL$

Da quessa si deduce chì i trianguli $LOM$, $LMC$ è $LMN$ sò isusceli è dunque:

$L{\widehat {O}}M=N{\widehat {M}}L=2L{\widehat {C}}M$

Ma $L{\widehat {C}}M=C{\widehat {O}}A$ perchè sò anguli alterni interni è dunque $L{\widehat {O}}M=2C{\widehat {O}}A$, o ancu:

$B{\widehat {O}}A=L{\widehat {O}}A=3C{\widehat {O}}A$

cum'ellu ferma dimustratu.

Duplicazione di u cubu

Duplicazione di u cubu per via d'una cuncoide di Nicomede

A custruzzione grafica chì permette di diterminà u valore di $a{\sqrt[{3}]{2}}$ necessariu per risolve u prublema di a duplicazione di u cubu, si pò generà cù a prucedura seguente:

1. Si parte da a misura data di u spigulu di u cubu da duplicà, chjamata $a$.
2. Si custruisce u rettangulu $OABC$, chì a basa $OA$ misura $a$ è l'altezza $AB$ misura $b=2a$.
3. Si ditermineghja $E$, u puntu mediu di $OA$, chì per ellu si traccia una retta verticale.
4. Si traccia a circunferenza $(V)$ cù centru in $O$ è raghju $a$, chì interseca $OA$ in u puntu $H$, è chì taglia a retta verticale chì passa per $E$ sottu à $OA$ in u puntu $G$.
5. Si traccia a retta $(L)$, parallela à $GH$ è chì passa per $A$.
6. Avà, si custruisce a branca esteriore di una cuncoide di Nicomede cù u puntu $G$ cum'è polu, a retta $(L)$ cum'è retta basa è a distanza $a$.
7. Si stabilisce u puntu $P$ cum'è l'interrezzione di a cuncoide cù a retta $OA$. A retta $PB$ taglia a retta $OC$ in u puntu $M$.
8. Finalmente, si verifica chì a distanza $CM$ hè $a{\sqrt[{3}]{2}}$.

Prova

Cuncoide di Nicomede (turchinu)

Sicondu l'imagine à dritta, sia $AD>AB$ è, per simplicità, si supponga chì $AB=2a$ è $AD=2b$.

Custruì u rettangulu $ABCD$ sicondu i dati furniti (per a duplicazione di u cubu, $b=2a$); dividendu $AD$ à a mità s'uttene u puntu mediu $E$, chì si unisce cù $C$; allora, prulungà $CE$ fin'à ch'ella scontri in $F$ l'estensione di $AB$. Da $G$, puntu mediu di $AB$, traccià a perpendiculare à $AB$ è, cù u centru in $B$ è u raghju uguale à $b$ (a mità di $AD$), taglià cù un arcu di circunferenza detta perpendiculare in u puntu $H$, da u latu di $AB$ induve ùn si trova micca u rettangulu $ABCD$. Unisce $H$ cù $F$ è da $B$ si traccia a retta $BI$ parallela à $HF$. A cuncoide hà $H$ cum'è polu, $BI$ cum'è retta basa è una distanza uguale à $b$.

A cuncoide cusì discritta scontra a linea retta $AB$ in un puntu $K$ è e duie linee rette $AB$ è $BI$ identificheghjanu u sigmentu $HK$ in $MK=b$.

Indicatu cù $L$ u puntu di scontru di a linea retta $CK$ cù a linea retta $AD$, si mostra chì i dui sigmenti $BK$ è $DL$ sò e duie medie prupuziunale ricercate. Infatti, definendu $BK=x$ è $DL=y$, in cunseguenza di e custruzzione realizate, si hà chì:

$HG={\sqrt {b^{2}-a^{2}}}$

$GK=a+x$

è dunque unendu $H$ cù $K$,

$HK={\sqrt {HG^{2}+GK^{2}}}={\sqrt {b^{2}-a^{2}+(a+x)^{2}}}={\sqrt {b^{2}+2ax+x^{2}}}$

Ma da i trianguli simili $BMK$, $FHK$ si deduce chì $FK:BK=HK:MK$, è ussirvendu chì $MK=b$ è chì $FK=4a+x$, sustituendu in a prupurzione precedente, si hà chì:

${\frac {4a+x}{x}}={\frac {\sqrt {b^{2}+2ax+x^{2}}}{b}}$

Partendu da quì, s'uttene u quatratu:

${\frac {16a^{2}+8ax+x^{2}}{x^{2}}}={\frac {b^{2}+2ax+x^{2}}{b^{2}}}$

è eliminendu i denominatori

$16a^{2}b^{2}+8ab^{2}x+b^{2}x^{2}=b^{2}x^{2}+x^{4}+2ax^{3}$

Oparendu è riducendu u risultatu s'arriva à

$x^{4}+2ax^{3}-8ab^{2}x-16a^{2}b^{2}=0$

vale à dì,

$x^{3}(x+2a)-8ab^{2}(x+2a)=0$

da induve

$(x^{3}-8ab^{2})(x+2a)=0$

è sendu $x+2a$ sfarente da zeru (postu chì $x$ è $2a$ sò misure di sigmentu) risulta necessariamente chì

$x^{3}-8ab^{2}=0$

vale à dì

$x^{3}=2a(2b)^{2}$

Da a sumiglia di i trianguli $LDC$, $BCK$ si hà chì $2a:y=x:2b$ è, dunque,

$xy=4ab$

chì permette di scrive

$y={\frac {4ab}{x}}$

Elevendu à u cubu

$y^{3}={\frac {4^{3}a^{3}b^{3}}{x^{3}}}$

ma $x^{3}=2a(2b)^{2}$, è dunque:

$y^{3}={\frac {4^{3}a^{3}b^{3}}{2^{3}ab^{2}}}$

simplifichendu s'uttene

$y^{3}=2b(2a)^{2}$

Tandu:

${\begin{cases}xy=4ab\\x^{3}=2a(2b)^{2}\\y^{3}=2b(2a)^{2}\end{cases}}$

A terza è a prima ugualità, divise membru à membru, danu

$(1)\quad {\frac {y^{2}}{x}}=2a\implies y^{2}=2ax$

À a so volta, u sicondu è u primu membru divisi danu:

$(2)\quad {\frac {x^{2}}{y}}=2b\implies x^{2}=2by$

Finalmente, risulta:

${\frac {2a}{y}}={\frac {y}{x}}={\frac {x}{2b}}$

In particulare, se $2a=L$, è $b=L$, $y$ hè uguale à u latu di u cubu chì hè u doppiu di quellu chì hà 1 per latu. In fatti, da (1) è (2) ne seguita:

${\frac {y^{4}}{4a^{2}}}=2by$

è dunque

$y^{3}=8a^{2}b$

sustituendu i valori di $a$ è $b$

$y^{3}=2L^{3}$

estraendu a radica cubica

$y=L{\sqrt[{3}]{2}}$

è, se $L=1$, hè

$y={\sqrt[{3}]{2}}$.

Vede ancu

• Chjoppula di Pascal